Question

El número de pulgadas del perímetro de un triángulo equilátero es igual al número de pulgadas cuadradas del área de su círculo circunscrito. ¿Cuál es el radio, en pulgadas, del círculo?

The number of inches in the perimeter of an equilateral triangle equals the number of square inches in the area of its circumscribed circle. What is the radius, in inches, of the circle?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{\pi}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{6}{\pi}$

$\sqrt{3}\pi$

Solución:

Sea la longitud del lado $s$ y el circunradio $R.$ A partir de un triángulo $30$ - $60$ - $90$ formado por el centro y un lado, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ así que $s = R\sqrt{3}.$

El perímetro es $3s = 3R\sqrt{3}$ y el área del círculo es $\pi R^2.$

Al igualarlos, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ así que $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the side length be $s$ and the circumradius be $R.$ From a $30$ - $60$ - $90$ triangle formed by the center and a side, $R = \dfrac{s}{\sqrt{3}},$ so $s = R\sqrt{3}.$

The perimeter is $3s = 3R\sqrt{3}$ and the circle's area is $\pi R^2.$

Setting them equal, $3R\sqrt{3} = \pi R^2,$ so $R = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años