Question

Sea $S$ un conjunto de $6$ enteros tomados de $\{1,2,\dots,12\}$ con la propiedad de que si $a$ y $b$ son elementos de $S$ con $a < b,$ entonces $b$ no es múltiplo de $a.$ ¿Cuál es el menor valor posible de un elemento de $S$ ?

Let $S$ be a set of $6$ integers taken from $\{1,2,\dots,12\}$ with the property that if $a$ and $b$ are elements of $S$ with $a < b,$ then $b$ is not a multiple of $a.$ What is the least possible value of an element in $S?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$7$

Solución:

Procedemos por casos según el posible menor elemento de $S:$

$1$ no puede ser el menor elemento, pues eso significaría que ningún otro número puede estar en el conjunto.

$2$ no puede ser el menor elemento, pues tendríamos que incluir todos los números impares excepto $1.$ Esto haría que $3$ y $9$ violaran la regla.

Sea $3$ el menor elemento. Entonces podemos incluir $7$ y $11.$ Finalmente podemos incluir $4$ u $8$ y $5$ o $10.$

En cualquier caso, el número máximo de elementos que podemos incluir es $5,$ así que $3$ no puede ser el menor elemento.

Empezando con $4,$ podemos incluir $6, 7, 9$ y $11.$ Finalmente, podemos añadir $5$ o $10,$ formando un conjunto de $6$ elementos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We proceed by casing on possible values for $S:$

$1$ cannot be the smallest element since that would mean that no other number can be in the set.

$2$ cannot be the smallest element since we would have to include every odd number except $1.$ This would make $3$ and $9$ violate the rule.

Let $3$ be the smallest element. Then we can include $7$ and $11.$ We can finally include either $4$ or $8$ and $5$ or $10.$

Either way, the maximum number of elements that we can include is $5,$ so $3$ cannot be the smallest element.

Starting with $4,$ we can include $6, 7, 9$ and $11.$ Finally, we can add either $5$ or $10,$ creating a $6$ -element set.

Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años