Question

Un arquitecto está construyendo una estructura que colocará pilares verticales en los vértices del hexágono regular $ABCDEF,$ que yace horizontalmente sobre el suelo. Los seis pilares sostendrán un panel solar plano que no será paralelo al suelo. Las alturas de los pilares en $A,$ $B,$ y $C$ son $12,$ $9,$ y $10$ metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura, en metros, del pilar en $E$ ?

An architect is building a structure that will place vertical pillars at the vertices of regular hexagon $ABCDEF,$ which is lying horizontally on the ground. The six pillars will hold up a flat solar panel that will not be parallel to the ground. The heights of pillars at $A,$ $B,$ and $C$ are $12,$ $9,$ and $10$ meters, respectively. What is the height, in meters, of the pillar at $E?$

$9$

$6\sqrt{3}$

$8\sqrt{3}$

$17$

$12\sqrt{3}$

Solución:

Coloca un hexágono regular en coordenadas con $A=(-1,0)$ , $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ , $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ y $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2})$ . Como el panel solar es plano, la altura es una función afín $h(x,y)=ux+vy+w$ .

A partir de $h(A)=12$ , $h(B)=9$ y $h(C)=10$ , restando las dos últimas ecuaciones se obtiene $u=1$ . Entonces $-u+w=12$ , así que $w=13$ . Usando $h(B)=9$ se obtiene $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9$ , así que $\sqrt3v=-7$ .

Por lo tanto $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Put a regular hexagon in coordinates with $A=(-1,0)$ , $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ , $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ , and $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2})$ . Because the solar panel is flat, the height is an affine function $h(x,y)=ux+vy+w$ .

From $h(A)=12$ , $h(B)=9$ , and $h(C)=10$ , subtracting the last two equations gives $u=1$ . Then $-u+w=12$ , so $w=13$ . Using $h(B)=9$ gives $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9$ , so $\sqrt3v=-7$ .

Therefore $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años