Question

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

hay cuyos dígitos no nulos

a

,

b

, y

c

satisfacen

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?

(La barra indica repetición de dígitos, de modo que

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

es el decimal periódico infinito

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

)

How many three-digit positive integers

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

are there whose nonzero digits

a,

b,

and

c

satisfy

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?

(The bar indicates digit repetition, thus

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

is the infinite repeating decimal

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

)

9

10

11

13

14

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico dígitos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Convierte los decimales periódicos en fracciones.

Convert the repeating decimals into fractions

Pista grande:

Reduce la condición a una ecuación lineal en los tres dígitos.

Reduce the condition to a linear equation in the three digits

Solución:

Los decimales periódicos satisfacen

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}

Al sustituir y multiplicar por

999

se obtiene

100a+10b+c=37(a+b+c),

o bien

7a=3b+4c.

Para cada

a\in\{1,2,\ldots,9\},

al revisar los dígitos no nulos

b,c

en esta ecuación lineal se obtiene

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}

Así pues, hay

13

enteros.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating decimals satisfy

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}

Substitution and multiplication by

999

give

100a+10b+c=37(a+b+c),

or

7a=3b+4c.

For each

a\in\{1,2,\ldots,9\},

checking the nonzero digits

b,c

in this linear equation gives

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}

Thus there are

13

integers.

Thus, D is the correct solution.

2022 AMC 10A Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años