Solución:

Encontremos una expresión en forma cerrada para cada uno de los decimales periódicos. Podemos escribir $0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}$ como $$0.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c} + 0.000 \ \underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c} + \cdots.$$

De esto, vemos que es una sucesión geométrica infinita con primer término $0.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}$ y razón $\dfrac{1}{1000}.$

Usando la fórmula para la suma de una sucesión geométrica infinita, obtenemos que esto es igual a $$\dfrac{0.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}}{1 - \dfrac{1}{1000}} = \dfrac{\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}}{999}.$$

De manera similar, nota que podemos escribir $0.\overline{a}$ como $$0.a + 0.0a + 0.00a + \cdots.$$

Como antes, esto es igual a $$\dfrac{0.a}{1 - \dfrac{1}{10}} = \dfrac{a}{9}.$$ Por lo tanto, $$0.\overline{b} = \dfrac{b}{9},\qquad 0.\overline{c} = \dfrac{c}{9}.$$

Sustituyendo todos estos valores en la condición, obtenemos $$\dfrac{\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}}{999} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a + b + c}{9}.$$ Multiplicando todo por $999$ se obtiene $$\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c} = 37(a + b +c).$$

Nota que podemos expresar $\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}$ como $100a + 10b + c.$ Sustituyendo esto, obtenemos $$100a + 10b + c = 37(a + b + c),$$ que se simplifica a $$\begin{aligned} 63a &= 27b + 36c \\ &\Rightarrow 7a = 3b + 4c. \end{aligned}$$

Todas las soluciones donde $a = b = c$ funcionan. La expresión $3b + 4c$ permanece constante si aumentamos $b$ en $4$ y disminuimos $c$ en $3$. También podríamos disminuir $b$ en $4$ y aumentar $c$ en $3$.

Aplicando este principio a las primeras $9$ ternas se obtienen $$(4, 8, 1), (5, 1, 8), (5, 9, 2), (6, 2, 9)$$ como $4$ soluciones más. Por lo tanto, hay un total de $13$ soluciones.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.