Question

Sea $T_k$ la transformación del plano de coordenadas que primero rota el plano $k$ grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego refleja el plano respecto al eje $y$ . ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ tal que realizar la sucesión de transformaciones $T_1, T_2, T_3, \cdots, T_n$ devuelve el punto $(1,0)$ a sí mismo?

Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$ -axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1, T_2, T_3, \cdots, T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?

$359$

$360$

$719$

$720$

$721$

Solución:

Como estamos trabajando con ángulos y reflexiones, usar coordenadas polares facilitaría este problema.

Sea $(r, \theta)$ una coordenada polar. Rotarla $k$ grados en sentido antihorario lleva el punto a $(r, \theta + k^{\circ})$ y luego reflejarlo lo lleva a $(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ})$ .

Por lo tanto, tenemos que $T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).$

De esto, vemos que $T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =$ $T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =$ $(r, \theta - 1^{\circ}).$

Ahora, analicemos qué le sucede al punto $(1, 0^{\circ}).$

Después de $T_1,$ obtenemos $(1, 179^{\circ}).$

Después de $T_2,$ obtenemos $(1, -1^{\circ}).$

Después de $T_3,$ obtenemos $(1, 178^{\circ}).$

Después de $T_4,$ obtenemos $(1, -2^{\circ}).$

$\vdots$

Después de $T_{2m - 1},$ obtenemos $(1, 180^{\circ} - m^{\circ}).$

Después de $T_{2m},$ obtenemos $(1, -m^{\circ}).$

De esto, vemos que la primera vez que el ángulo vuelve a $0^{\circ}$ es después de $T_{2(180)-1}=T_{359}.$ Por lo tanto $n=359.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since we are working with angles and reflections, working with polar coordinates would make this problem easier to deal with.

Let $(r, \theta)$ be a polar coordinate. Rotating this by $k$ degrees counterclockwise maps the point to $(r, \theta + k^{\circ})$ and then reflecting it maps it to $(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ})$ .

Therefore, we have that $T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).$

From this, we can see that $T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =$ $T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =$ $(r, \theta - 1^{\circ}).$

Now, let's analyze what happens to the point $(1, 0^{\circ}).$

After $T_1,$ we get $(1, 179^{\circ}).$

After $T_2,$ we get $(1, -1^{\circ}).$

After $T_3,$ we get $(1, 178^{\circ}).$

After $T_4,$ we get $(1, -2^{\circ}).$

$\vdots$

After $T_{2m - 1},$ we get $(1, 180^{\circ} - m^{\circ}).$

After $T_{2m},$ we get $(1, -m^{\circ}).$

From this, we can see that the first time the angle is back to $0^{\circ}$ is after $T_{2(180)-1}=T_{359}.$ Therefore $n=359.$

Thus, A is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años