Question

Un cuadrado en el plano coordenado tiene vértices cuyas coordenadas $y$ son $0,$ $1,$ $4,$ y $5.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

A square in the coordinate plane has vertices whose $y$ -coordinates are $0,$ $1,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the square?

$16$

$17$

$25$

$26$

$27$

Solución:

Sea un vértice $A=(0,0)$ , y sea el vértice adyacente con coordenada y igual a $1$ el punto $B=(x,1)$ con $x>0$ .

Al rotar el vector de lado $(x,1)$ en $90^\circ$ se obtiene el siguiente vector de lado $(-1,x)$ , así que otro vértice tiene coordenada y igual a $x$ . Las coordenadas y restantes son $4$ y $5$ , de donde $x=4$ .

El cuadrado de la longitud del lado es $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , que es el área del cuadrado.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let one vertex be $A=(0,0)$ , and let the adjacent vertex with y-coordinate $1$ be $B=(x,1)$ with $x>0$ .

Rotating the side vector $(x,1)$ by $90^\circ$ gives the next side vector $(-1,x)$ , so another vertex has y-coordinate $x$ . The remaining y-coordinates are $4$ and $5$ , hence $x=4$ .

The side length squared is $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , which is the area of the square.

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años