Question

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión para la cual $a_1=2,$ $a_2=3,$ y $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ para cada entero positivo $n\ge 3.$ ¿Cuánto vale $a_{2006}$ ?

Let $a_1,a_2,\ldots$ be a sequence for which $a_1=2,$ $a_2=3,$ and $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ for each positive integer $n\ge 3.$ What is $a_{2006}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

$3$

Solución:

Los términos son $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,$ luego $2,\,3,\ldots,$ un ciclo de longitud $6.$

Como $2006=6\cdot334+2,$ se tiene $a_{2006}=a_2=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The terms are $2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,$ then $2,\,3,\ldots,$ a cycle of length $6.$

Since $2006=6\cdot334+2,$ we have $a_{2006}=a_2=3.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años