Question

Sea

a_1,

a_2,

\ldots

una sucesión para la cual

a_1=2,

a_2=3,

y

a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}

para cada entero positivo

n\ge 3.

¿Cuánto vale

a_{2006}

?

Let

a_1,

a_2,

\ldots

be a sequence for which

a_1=2,

a_2=3,

and

a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}

for each positive integer

n\ge 3.

What is

a_{2006}?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{2}

2

3

Calcula los primeros términos para detectar un ciclo que se repite.

Compute the first several terms to detect a repeating cycle

La sucesión se repite cada

6

términos; reduce

2006

módulo

6

.

The sequence repeats every

6

terms; reduce

2006

modulo

6

Los términos son

2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,

luego

2,\,3,\ldots,

un ciclo de longitud

6.

Como

2006=6\cdot334+2,

se tiene

a_{2006}=a_2=3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The terms are

2,\,3,\,\tfrac32,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\,\tfrac23,

then

2,\,3,\ldots,

a cycle of length

6.

Since

2006=6\cdot334+2,

we have

a_{2006}=a_2=3.

Thus, the correct answer is E.