Question

Supón que

a,

b,

y

c

son enteros positivos tales que

\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.

¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente verdaderos?

I. Si

\gcd(a, 14) = 1

o

\gcd(b, 15) = 1

o ambos, entonces

\gcd(c, 210) = 1.

II. Si

\gcd(c, 210) = 1,

entonces

\gcd(a, 14) = 1

o

\gcd(b, 15) = 1

o ambos.

III.

\gcd(c, 210) = 1

si y solo si

\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.

Suppose

a,

b,

and

c

are positive integers such that

\frac{a}{14} + \frac{b}{15} = \frac{c}{210}.

Which of the following statements are necessarily true?

I. If

\gcd(a, 14) = 1

or

\gcd(b, 15) = 1

or both, then

\gcd(c, 210) = 1.

II. If

\gcd(c, 210) = 1,

then

\gcd(a, 14) = 1

or

\gcd(b, 15) = 1

or both.

III.

\gcd(c, 210) = 1

if and only if

\gcd(a, 14) = \gcd(b, 15) = 1.

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

Solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

Solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

Solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

Solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

Respuesta: E

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular deducción lógica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Elimina los denominadores para obtener

c = 15a + 14b,

luego reduce módulo

2, 3, 5, 7

.

Clear denominators to get

c = 15a + 14b,

then reduce modulo

2, 3, 5, 7

Pista grande:

\gcd(c, 210) = 1

impone condiciones sobre

a

módulo

2, 7

y sobre

b

módulo

3, 5

.

\gcd(c, 210) = 1

forces conditions on

a

modulo

2, 7

and on

b

modulo

3, 5

Solución:

Elimina los denominadores para obtener

c = 15a + 14b.

Reduce módulo los primos de

210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7:

c \equiv a \pmod 2,

c \equiv 2b \pmod 3,

c \equiv 4b \pmod 5,

y

c \equiv a \pmod 7.

Así que

\gcd(c, 210) = 1

si y solo si

a

no es divisible ni por

2

ni por

7

y

b

no es divisible ni por

3

ni por

5,

lo que es exactamente

\gcd(a, 14) = 1

y

\gcd(b, 15) = 1.

Eso resuelve III, y hace verdadero II ya que el “y” implica el “o”. El enunciado I falla, sin embargo: toma

a = 1, b = 3.

Entonces

\gcd(a, 14) = 1,

pero

c = 57

es divisible entre

3.

Así que solo II y III se cumplen. Por lo tanto, la respuesta es E.

Clear denominators to get

c = 15a + 14b.

Reduce modulo the primes of

210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7:

c \equiv a \pmod 2,

c \equiv 2b \pmod 3,

c \equiv 4b \pmod 5,

and

c \equiv a \pmod 7.

So

\gcd(c, 210) = 1

iff

a

is divisible by neither

2

nor

7

and

b

is divisible by neither

3

nor

5,

which is exactly

\gcd(a, 14) = 1

and

\gcd(b, 15) = 1.

That settles III, and it makes II true since the “and” implies the “or.” Statement I fails, though: take

a = 1, b = 3.

Then

\gcd(a, 14) = 1,

yet

c = 57

is divisible by

3.

So only II and III hold. Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años