Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB = 6$ y $BC = 3$ . Se elige el punto $M$ sobre el lado $AB$ de modo que $\angle AMD = \angle CMD$ . ¿Cuál es la medida en grados de $\angle AMD$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB = 6$ and $BC = 3.$ Point $M$ is chosen on side $AB$ so that $\angle AMD = \angle CMD.$ What is the degree measure of $\angle AMD?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Solución:

Los ángulos $\angle AMD$ y $\angle MDC$ son iguales porque $AB \parallel DC$ .

Por lo tanto, $\angle MDC = \angle DMC$ , lo que hace que $MDC$ sea isósceles y $MC = DC = 6$ .

Como podemos ver, $\sin (\angle CMB) = \frac 12$ , lo que da $\angle CMB = 30^\circ$ .

Por lo tanto, $\angle AMC = 150^\circ$ . Como $\angle AMD$ es la mitad de eso, $\angle AMD = 75^\circ$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The angles $\angle AMD$ and $\angle MDC$ are equal since $AB \parallel DC.$

As such, $\angle MDC = \angle DMC ,$ making $MDC$ isosceles and $MC = DC = 6.$

As we can see, $\sin (\angle CMB) = \frac 12,$ making $\angle CMB = 30^\circ .$

Therefore, $\angle AMC = 150^\circ .$ Since $\angle AMD$ is half of that, $\angle AMD = 75^\circ .$

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años