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2011 AMC 10B Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2011 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

El rectángulo ABCDABCD tiene AB=6AB = 6 y BC=3.BC = 3. Se elige el punto MM sobre el lado ABAB de modo que ∠AMD=∠CMD.\angle AMD = \angle CMD. ¿Cuál es la medida en grados de ∠AMD\angle AMD?
Rectangle ABCDABCD has AB=6AB = 6 and BC=3.BC = 3. Point MM is chosen on side ABAB so that ∠AMD=∠CMD.\angle AMD = \angle CMD. What is the degree measure of ∠AMD?\angle AMD?
1515
3030
4545
6060
7575
Respuesta: E
Conceptos:rectángulotriángulo isóscelestrigonometría
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Usa AB∥CDAB\parallel CD para trasladar un ángulo a ∠CDM\angle CDM.
Use AB∥CDAB\parallel CD to transfer one angle to ∠CDM\angle CDM
Pista grande:
El triángulo CMDCMD se vuelve isósceles.
Triangle CMDCMD becomes isosceles
Solución:
Los ángulos ∠AMD\angle AMD y ∠MDC\angle MDC son iguales porque AB∥DC.AB \parallel DC.
Por lo tanto, ∠MDC=∠DMC,\angle MDC = \angle DMC , lo que hace que MDCMDC sea isósceles y MC=DC=6.MC = DC = 6.
Como podemos ver, sin⁡(∠CMB)=12,\sin (\angle CMB) = \frac 12, lo que da ∠CMB=30∘.\angle CMB = 30^\circ .
Por lo tanto, ∠AMC=150∘.\angle AMC = 150^\circ . Como ∠AMD\angle AMD es la mitad de eso, ∠AMD=75∘.\angle AMD = 75^\circ .
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The angles ∠AMD\angle AMD and ∠MDC\angle MDC are equal since AB∥DC.AB \parallel DC.
As such, ∠MDC=∠DMC,\angle MDC = \angle DMC , making MDCMDC isosceles and MC=DC=6.MC = DC = 6.
As we can see, sin⁡(∠CMB)=12,\sin (\angle CMB) = \frac 12, making ∠CMB=30∘.\angle CMB = 30^\circ .
Therefore, ∠AMC=150∘.\angle AMC = 150^\circ . Since ∠AMD\angle AMD is half of that, ∠AMD=75∘.\angle AMD = 75^\circ .
Thus, the correct answer is E .
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

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