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2021 AMC 10B Fall Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2021 AMC 10B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Tres hojas de papel cuadradas idénticas, cada una de lado 66, se apilan una sobre otra. La hoja del medio se gira 30∘30^\circ en sentido horario alrededor de su centro y la hoja superior se gira 60∘60^\circ en sentido horario alrededor de su centro, lo que da como resultado el polígono de 2424 lados que se muestra en la figura de abajo.
El área de este polígono se puede expresar en la forma a−bc,a-b\sqrt{c}, donde a,a, b,b, y cc son enteros positivos, y cc no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale a+b+ca+b+c?
Three identical square sheets of paper each with side length 66 are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise 30∘30^\circ about its center and the top sheet is rotated clockwise 60∘60^\circ about its center, resulting in the 2424-sided polygon shown in the figure below.
The area of this polygon can be expressed in the form a−bc,a-b\sqrt{c}, where a,a, b,b, and cc are positive integers, and cc is not divisible by the square of any prime. What is a+b+c?a+b+c?
75 75
93 93
96 96
129 129
147 147
Respuesta: E
Conceptos:descomposición de áreastransformacióntrigonometría
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:
Divide el polígono en 2424 triángulos congruentes.
Split the polygon into 2424 congruent triangles
Pista grande:
Cada triángulo pequeño tiene ángulos 15∘,45∘,120∘15^\circ,45^\circ,120^\circ.
Each small triangle has angles 15∘,45∘,120∘15^\circ,45^\circ,120^\circ
Solución:
La frontera se puede dividir en 2424 triángulos congruentes. Cada uno tiene ángulos 15∘15^\circ, 45∘45^\circ y 120∘120^\circ.
Para uno de esos triángulos, traza la altura en la dirección hacia el lado central. La altura es 33, la mitad del lado de un cuadrado. El triángulo rectángulo adyacente tiene un ángulo de 30∘30^\circ, así que la parte recortada de una base de longitud 33 es 3tan⁡30∘=33\tan30^\circ=\sqrt3.
Así, cada triángulo pequeño tiene base 3−33-\sqrt3 y altura 33, lo que da área 3(3−3)2=9−332\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}.
El área total es 24⋅9−332=108−363.24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3. Por lo tanto a+b+c=108+36+3=147a+b+c=108+36+3=147.
Por lo tanto, la respuesta es E.
The boundary can be split into 2424 congruent triangles. Each has angles 15∘,15^\circ, 45∘,45^\circ, and 120∘.120^\circ.
For one such triangle, draw the altitude from the center-side direction. The altitude is 3,3, half the side length of a square. The adjacent right triangle has a 30∘30^\circ angle, so the part cut off from a length 33 base is 3tan⁡30∘=3.3\tan30^\circ=\sqrt3.
Thus each small triangle has base 3−33-\sqrt3 and height 3,3, giving area 3(3−3)2=9−332.\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}.
The total area is 24⋅9−332=108−363.24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3. Hence a+b+c=108+36+3=147.a+b+c=108+36+3=147.
Thus, the answer is E .
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

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