Question

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

para todos los enteros pares positivos $n$ ?

What is the largest integer that is a divisor of

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

Solución:

Para $n$ par, los factores son cinco números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible por $3$ y exactamente uno por $5,$ así que el producto siempre es divisible por $15.$

Ningún divisor fijo mayor funciona: $n=2$ da $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11,$ cuyo máximo común divisor con otros casos como $n=10$ es exactamente $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For even $n,$ the factors are five consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

No larger fixed divisor works: $n=2$ gives $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11,$ whose greatest common divisor with other cases such as $n=10$ is exactly $15.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años