Question

Para cierto entero positivo

k,

la representación periódica en base

k

de la fracción (en base diez)

\dfrac{7}{51}

es

0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.

¿Cuánto vale

k

?

For some positive integer

k,

the repeating base-

k

representation of the (base-ten) fraction

\dfrac{7}{51}

is

0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.

What is

k?

13

14

15

16

17

Respuesta: D

Conceptos:base numérica decimal periódico sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Desarrolla

0.\overline{23}_k

como una serie geométrica.

Expand

0.\overline{23}_k

as a geometric series

Pista grande:

La razón común después de dos dígitos es

k^{-2}

.

The common ratio after two digits is

k^{-2}

Solución:

La fracción periódica en base

k

es

2k^{-1}+3k^{-2}

+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots

. Agrupando las potencias impares y pares se obtiene

\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}

Usando series geométricas, estas sumas son

\dfrac{2k}{k^2-1}

y

\dfrac{3}{k^2-1}

, así que

0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}

.

Igualando

\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}

se obtiene

51(2k+3)=7(k^2-1)

, de modo que

7k^2-102k-160=0

. Por lo tanto,

k=16

. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating base-

k

fraction is

2k^{-1}+3k^{-2}

+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots

. Grouping odd and even powers gives

\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}

Using geometric series, these sums are

\dfrac{2k}{k^2-1}

and

\dfrac{3}{k^2-1}

, so

0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}

.

Setting

\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}

gives

51(2k+3)=7(k^2-1)

, so

7k^2-102k-160=0

. Hence

k=16

. Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años