Question

Para cierto entero positivo $k,$ la representación periódica en base $k$ de la fracción (en base diez) $\dfrac{7}{51}$ es $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323..._k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

La fracción periódica en base $k$ es $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Agrupando las potencias impares y pares se obtiene $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Usando series geométricas, estas sumas son $\dfrac{2k}{k^2-1}$ y $\dfrac{3}{k^2-1}$ , así que $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Igualando $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ se obtiene $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , de modo que $7k^2-102k-160=0$ . Por lo tanto, $k=16$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating base- $k$ fraction is $2k^{-1}+3k^{-2}$ $+2k^{-3}+3k^{-4}+\cdots$ . Grouping odd and even powers gives $\begin{aligned} &2(k^{-1}+k^{-3}+\cdots) \\ &\quad {}+3(k^{-2}+k^{-4}+\cdots). \end{aligned}$

Using geometric series, these sums are $\dfrac{2k}{k^2-1}$ and $\dfrac{3}{k^2-1}$ , so $0.\overline{23}_k=\dfrac{2k+3}{k^2-1}$ .

Setting $\dfrac{2k+3}{k^2-1}=\dfrac{7}{51}$ gives $51(2k+3)=7(k^2-1)$ , so $7k^2-102k-160=0$ . Hence $k=16$ . Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años