Question

Los enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ se seleccionan de forma aleatoria e independiente, con reemplazo, del conjunto $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}.$

¿Cuál es la probabilidad de que $abc + ab + a$ sea divisible entre $3$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}.$

What is the probability that $abc + ab + a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

Solución:

Observa que $abc + ab + a = a(bc + b + 1).$ Esto significa que si $a$ es divisible entre $3,$ toda la expresión también lo es.

Como $2010$ es divisible entre $3,$ tenemos que $a$ es divisible entre $3$ con probabilidad $\frac{1}{3}.$

Ahora consideremos $a$ no divisible entre $3.$ Para que la expresión sea divisible entre $3,$ debemos tener que $bc + b + 1$ es divisible entre $3.$

Esto significa que $bc + b = b(c + 1) \equiv 2 \pmod{3}.$

La única posibilidad para esto es que uno de los factores sea $2$ módulo $3$ y el otro sea $1$ módulo $3.$

Para cada uno de los dos casos, hay una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de que cada uno de los factores tenga el residuo deseado, para una probabilidad de $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.$

Hay dos casos, lo que significa que esto ocurre con una probabilidad de $\dfrac{2}{9}$ .

La probabilidad total es entonces $\dfrac{1}{3} \cdot 1 + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{13}{27}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $abc + ab + a = a(bc + b + 1).$ This means that if $a$ is divisible by $3,$ the whole expression is as well.

Since $2010$ is divisible by $3,$ we have that $a$ is divisible by $3$ with probability $\frac{1}{3}.$

Now consider $a$ not divisible by $3.$ For the expression to be divisible by $3,$ we must have that $bc + b + 1$ is divisible by $3.$

This means that $bc + b = b(c + 1) \equiv 2 \pmod{3}.$

The only possibility for this is that one of the factors is $2$ mod $3$ and the other is $1$ mod $3.$

For each of the two cases, there is a $\frac{1}{3}$ chance that each of the factors is the desired modulus, for a probability of $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.$

There are two cases, which means that this happens with a $\dfrac{2}{9}$ probability.

The total probability is then $\dfrac{1}{3} \cdot 1 + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{13}{27}.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años