Question

El equipo A y el equipo B juegan una serie. El primer equipo en ganar tres partidos gana la serie. Cada equipo tiene la misma probabilidad de ganar cada partido, no hay empates y los resultados de los partidos individuales son independientes. Si el equipo B gana el segundo partido y el equipo A gana la serie, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo B gane el primer partido?

Team A and team B play a series. The first team to win three games wins the series. Each team is equally likely to win each game, there are no ties, and the outcomes of the individual games are independent. If team B wins the second game and team A wins the series, what is the probability that team B wins the first game?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Supongamos que se juegan los cinco partidos, de modo que toda secuencia de cinco resultados es igualmente probable. Se sabe que B gana el partido $2$ .

Exigir que B gane el segundo partido y que A termine ganando la serie (tres victorias) deja las secuencias igualmente probables $\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$ Solo en BBAAA el equipo B gana el primer partido.

Así que la probabilidad es $\dfrac{1}{5}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Suppose all five games are played, so every sequence of five results is equally likely. Requiring that B wins game $2$ and A ends up with the series (three wins) leaves the equally likely sequences

$\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$

Only in BBAAA does team B win the first game, so the probability is $\dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años