Question

El equipo A y el equipo B juegan una serie. El primer equipo en ganar tres partidos gana la serie. Cada equipo tiene la misma probabilidad de ganar cada partido, no hay empates y los resultados de los partidos individuales son independientes. Si el equipo B gana el segundo partido y el equipo A gana la serie, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo B gane el primer partido?

Team A and team B play a series. The first team to win three games wins the series. Each team is equally likely to win each game, there are no ties, and the outcomes of the individual games are independent. If team B wins the second game and team A wins the series, what is the probability that team B wins the first game?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad condicional enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Imagina que se juegan los cinco partidos, incluso después de que la serie esté decidida, de modo que cada secuencia de cinco partidos sea igualmente probable.

Imagine all five games are played, even after the series is decided, so each five-game sequence is equally likely

Pista grande:

Enumera las secuencias en las que B gana el partido $2$ y A gana la serie, y luego mira cuántas también tienen a B ganando el partido $1$ .

List the sequences in which B wins game $2$ and A wins the series, then see how many also have B winning game $1$

Solución:

Supongamos que se juegan los cinco partidos, de modo que toda secuencia de cinco resultados es igualmente probable. Exigir que B gane el partido $2$ y que A termine ganando la serie con tres victorias deja las siguientes secuencias igualmente probables:

$\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$

Solo en BBAAA el equipo B gana el primer partido. Así que la probabilidad es $\dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Suppose all five games are played, so every sequence of five results is equally likely. Requiring that B wins game $2$ and A ends up with the series (three wins) leaves the equally likely sequences

$\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$

Only in BBAAA does team B win the first game, so the probability is $\dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 10A Problema 18

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años