Question

Bernardo elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y los ordena de mayor a menor para formar un número de $3$ cifras. Silvia elige al azar $3$ números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ y también los ordena de mayor a menor para formar un número de $3$ cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Bernardo sea mayor que el número de Silvia?

Bernardo randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ and arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. Silvia randomly picks $3$ distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ and also arranges them in descending order to form a $3$ -digit number. What is the probability that Bernardo's number is larger than Silvia's number?

$\dfrac{47}{72}$

$\dfrac{37}{56}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{49}{72}$

$\dfrac{39}{56}$

Solución:

Hay dos casos: Bernardo elige un $9$ o no lo hace.

Caso 1: Bernardo elige un $9$

Como un número está fijo, hay $\binom{8}{2} = 28$ maneras de elegir los otros dos números.

Hay un total de $\binom{9}{3} = 84$ maneras de elegir los tres números. La probabilidad es entonces $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Nota que si Bernardo elige un $9,$ automáticamente tiene un número mayor que Silvia.

Esto significa que Bernardo siempre gana en este caso.

Caso 2: Bernardo no elige un $9$

Hay una probabilidad de $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ de que esto ocurra. Como ambas personas eligen de los mismos números, tienen la misma probabilidad de ganar.

Todavía necesitamos encontrar la probabilidad de que los números sean iguales. Hay una probabilidad de $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}$ de que Silvia elija los mismos números que Bernardo. La probabilidad de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

La probabilidad total de que Bernardo obtenga un número mayor es entonces $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are two cases: Bernardo picks a $9$ or he doesn't.

Case 1: Bernardo picks a $9$

Since a number is fixed, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the other two numbers.

There are a total of $\binom{9}{3} = 84$ ways to pick all three numbers. The probability is then $\dfrac{28}{84} = \dfrac{1}{3}.$

Note that if Bernardo picks a $9,$ he automatically has a greater number than Silvia.

This means that Bernardo always wins in this case.

Case 2: Bernardo doesn't pick a $9$

There is a $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ chance of this happening. Since both people are choosing from the same numbers, they have an equal chance of winning.

We still need to find the probability that the numbers are the same. There is a $\dfrac{1}{\binom{8}{3}} = \dfrac{1}{56}$ chance that Silvia chooses the same numbers as Bernardo. The probability that Bernardo gets a higher number is then $\dfrac{1 - \frac{1}{56}}{2} = \dfrac{55}{112}.$

The total probability of Bernardo getting a higher number is then $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{55}{112} = \dfrac{37}{56}.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años