Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=8$ y $BC=6.$ El punto $M$ es el punto medio de la diagonal $\overline{AC},$ y $E$ está sobre $\overline{AB}$ con $\overline{ME}\perp\overline{AC}.$ ¿Cuál es el área de $\triangle AME$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=8$ and $BC=6.$ Point $M$ is the midpoint of diagonal $\overline{AC},$ and $E$ is on $\overline{AB}$ with $\overline{ME}\perp\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle AME?$

$\dfrac{65}{8}$

$\dfrac{25}{3}$

$9$

$\dfrac{75}{8}$

$\dfrac{85}{8}$

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,$ así que $AM=5.$ Los triángulos rectángulos $AME$ y $ABC$ comparten el ángulo $A,$ por lo que son semejantes con $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$ dando $ME=\dfrac{15}{4}.$

Entonces $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,$ so $AM=5.$ Right triangles $AME$ and $ABC$ share angle $A,$ so they are similar with $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$ giving $ME=\dfrac{15}{4}.$

Then $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años