Question

Cinco cuadrados unitarios están dispuestos en el plano coordenado como se muestra, con la esquina inferior izquierda en el origen. La recta inclinada, que va de $(a,0)$ a $(3,3),$ divide toda la región en dos regiones de igual área. ¿Cuánto vale $a$ ?

Five unit squares are arranged in the coordinate plane as shown, with the lower left corner at the origin. The slanted line, extending from $(a,0)$ to $(3,3),$ divides the entire region into two regions of equal area. What is $a?$

$\dfrac12$

$\dfrac35$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

$\dfrac45$

Solución:

Los cinco cuadrados unitarios tienen área total $5,$ así que cada región debe tener área $\dfrac52.$

La región a la parte inferior derecha de la recta es un triángulo rectángulo con catetos $3-a$ y $3,$ menos el cuadrado unitario que no cubre. Igualando su área a $\dfrac52$ obtenemos $\dfrac{3(3-a)}{2}-1=\dfrac52,$ así que $3(3-a)=7$ y $a=\dfrac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five unit squares have total area $5,$ so each region must have area $\dfrac52.$

The region to the lower right of the line is a right triangle with legs $3-a$ and $3,$ minus the one unit square it does not cover. Setting its area to $\dfrac52$ gives $\dfrac{3(3-a)}{2}-1=\dfrac52,$ so $3(3-a)=7$ and $a=\dfrac23.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años