Question

Un triángulo equilátero tiene lado $6.$ ¿Cuál es el área de la región que contiene todos los puntos que están fuera del triángulo y a no más de $3$ unidades de algún punto del triángulo?

An equilateral triangle has side length $6.$ What is the area of the region containing all points that are outside the triangle and not more than $3$ units from a point of the triangle?

$36 + 24\sqrt{3}$

$54 + 9\pi$

$54 + 18\sqrt{3} + 6\pi$

$\left(2\sqrt{3} + 3\right)^2 \pi$

$9\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 \pi$

Solución:

A lo largo de cada uno de los tres lados hay un rectángulo de $6 \times 3,$ que aporta $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.$

En cada vértice hay un sector de $120^\circ$ de radio $3;$ los tres juntos forman una circunferencia completa de área $\pi \cdot 3^2 = 9\pi.$

El área total es $54 + 9\pi.$

Así, la respuesta correcta es B.

Along each of the three sides is a $6 \times 3$ rectangle, contributing $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.$

At each vertex is a $120^\circ$ sector of radius $3;$ the three together form a full circle of area $\pi \cdot 3^2 = 9\pi.$

The total area is $54 + 9\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años