Question

Un triángulo equilátero tiene lado

6.

¿Cuál es el área de la región que contiene todos los puntos que están fuera del triángulo y a no más de

3

unidades de algún punto del triángulo?

An equilateral triangle has side length

6.

What is the area of the region containing all points that are outside the triangle and not more than

3

units from a point of the triangle?

36 + 24\sqrt{3}

54 + 9\pi

54 + 18\sqrt{3} + 6\pi

\left(2\sqrt{3} + 3\right)^2 \pi

9\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 \pi

La región consta de tres rectángulos a lo largo de los lados más tres sectores en las esquinas.

The region is three rectangles along the sides plus three sectors at the corners

Cada uno de los tres sectores de las esquinas mide

120^\circ,

y juntos forman un círculo completo de radio

3

.

The three corner sectors are each

120^\circ,

and together they make one full circle of radius

3

A lo largo de cada uno de los tres lados hay un rectángulo de

6 \times 3,

que aporta

3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.

En cada vértice hay un sector de

120^\circ

de radio

3;

los tres juntos forman un círculo completo de área

\pi \cdot 3^2 = 9\pi.

El área total es

54 + 9\pi.

Así, la respuesta correcta es B.

Along each of the three sides is a

6 \times 3

rectangle, contributing

3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.

At each vertex is a

120^\circ

sector of radius

3;

the three together form a full circle of area

\pi \cdot 3^2 = 9\pi.

The total area is

54 + 9\pi.

Thus, the correct answer is B.