Question

A Daphne la visitan periódicamente sus tres mejores amigas: Alice, Beatrix y Claire. Alice la visita cada tres días, Beatrix la visita cada cuatro días, y Claire la visita cada cinco días.

Las tres amigas visitaron a Daphne ayer. ¿En cuántos días del siguiente periodo de $365$ días la visitarán exactamente dos amigas?

Daphne is visited periodically by her three best friends: Alice, Beatrix, and Claire. Alice visits every third day, Beatrix visits every fourth day, and Claire visits every fifth day.

All three friends visited Daphne yesterday. How many days of the next $365$ -day period will exactly two friends visit her?

$48$

$54$

$60$

$66$

$72$

Solución:

Las visitas por parejas ocurren cada $\operatorname{lcm}(3,4)=12$ , $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ , y $\operatorname{lcm}(4,5)=20$ días.

En los siguientes $365$ días, estos conteos por parejas son $\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30$ , $\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24$ , y $\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18$ .

Las tres visitan cada $60$ días, lo que ocurre $\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6$ veces. Restar esos días de cada conteo por parejas da $(30-6)+(24-6)$ $+(18-6)=54$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Pairwise visits occur every $\operatorname{lcm}(3,4)=12$ , $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ , and $\operatorname{lcm}(4,5)=20$ days.

In the next $365$ days, these pair counts are $\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30$ , $\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24$ , and $\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18$ .

All three visit every $60$ days, which happens $\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6$ times. Subtracting those days from each pair count gives $(30-6)+(24-6)$ $+(18-6)=54$ .

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años