Question

Una bola roja y una bola verde se lanzan de forma aleatoria e independiente a contenedores numerados con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en el contenedor $k$ es $2^{-k}$ para $k = 1,2,3,\ldots.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja caiga en un contenedor de número mayor que el de la bola verde?

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $k$ is $2^{-k}$ for $k = 1,2,3,\ldots.$ What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{3}{7}$

Solución:

Dado que las dos bolas cayeron en contenedores distintos, la probabilidad de que la bola en el contenedor de número mayor sea la roja es $\frac 12.$ Así que debemos hallar $\frac{P(\text{Balls in different bins})}2$ $= \frac{1-P(\text{Balls in same bins})}2$ por conteo complementario.

La probabilidad de que ambas bolas estén en el contenedor $k$ es $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-k}.$

Por lo tanto, la probabilidad de que ambas estén en el mismo contenedor es $\sum_{k=1}^\infty 4^{-k}.$ Usando la fórmula de la suma geométrica, obtenemos que esto es $\frac 14 \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14} = \frac 13.$

Por lo tanto, nuestra respuesta es $\frac{1-\frac 13}2 = \frac 13 .$

Así, la respuesta es C.

Given that the two balls were tossed into separate bins, the probability that the ball in the higher-numbered bin is red is $\frac 12.$ Thus we must find $\frac{P(\text{Balls in different bins})}2$ $= \frac{1-P(\text{Balls in same bins})}2$ by complementary counting.

The probability that both balls are in bin $k$ is $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-k}.$

The probability that they are both in the same bin is therefore $\sum_{k=1}^\infty 4^{-k}.$ Using the geometric sequence formula, we get this to be $\frac 14 \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14} = \frac 13.$

Therefore, our answer is $\frac{1-\frac 13}2 = \frac 13 .$

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años