Question

Supón que $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ y $7^d = 8.$ ¿Cuánto vale $a \cdot b \cdot c \cdot d$ ?

Suppose that $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ and $7^d = 8.$ What is $a \cdot b \cdot c \cdot d?$

$1$

$\dfrac32$

$2$

$\dfrac52$

$3$

Solución:

Encadenando las ecuaciones, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Como $8 = 4^{3/2},$ concluimos que $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Chaining the equations, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Since $8 = 4^{3/2},$ we conclude $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años