Question

Supón que $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ y $7^d = 8.$ ¿Cuánto vale $a \cdot b \cdot c \cdot d$ ?

Suppose that $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ and $7^d = 8.$ What is $a \cdot b \cdot c \cdot d?$

$1$

$\dfrac32$

$2$

$\dfrac52$

$3$

Respuesta: B

Conceptos:exponente telescópica

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Eleva a potencias las ecuaciones sucesivas para que los exponentes se multipliquen.

Raise successive equations to powers so the exponents multiply

Pista grande:

$4^{abcd}$ se reduce telescópicamente a $8;$ escribe $8$ como potencia de $4$ .

$4^{abcd}$ telescopes down to $8;$ write $8$ as a power of $4$

Solución:

Encadenando las ecuaciones, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Como $8 = 4^{\frac{3}{2}},$ concluimos que $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Chaining the equations, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Since $8 = 4^{\frac{3}{2}},$ we conclude $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Thus, B is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años