Question

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene lados de longitud dos. ¿Cuál es el área de $\triangle ADG$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has sides of length two. What is the area of $\triangle ADG?$

$4 + 2\sqrt{2}$

$6 + \sqrt{2}$

$4 + 3\sqrt{2}$

$3 + 4\sqrt{2}$

$8 + \sqrt{2}$

Solución:

Coloca el octágono sobre ejes coordenados con los lados alineados a los ejes de longitud $2$ y cada lado inclinado abarcando $\sqrt2$ en horizontal y $\sqrt2$ en vertical. Entonces $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

Como $D$ y $G$ comparten la altura $2 + \sqrt2,$ el segmento $DG$ es horizontal con longitud $2 + 2\sqrt2,$ y la altura desde $A$ hasta ese nivel es $2 + \sqrt2.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set the octagon on coordinate axes with the axis-aligned sides of length $2$ and each slanted side spanning $\sqrt2$ horizontally and $\sqrt2$ vertically. Then $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

Since $D$ and $G$ share the height $2 + \sqrt2,$ segment $DG$ is horizontal with length $2 + 2\sqrt2,$ and the height from $A$ up to that level is $2 + \sqrt2.$

Therefore $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años