Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2021 AMC 10B Fall Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2021 AMC 10B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Las rectas distintas ℓ\ell y mm están en el plano xyxy. Se cortan en el origen. El punto P(−1,4)P(-1, 4) se refleja sobre la recta ℓ\ell al punto P′,P', y luego P′P' se refleja sobre la recta mm al punto P′′.P''. La ecuación de la recta ℓ\ell es 5x−y=0,5x - y = 0, y las coordenadas de P′′P'' son (4,1).(4,1). ¿Cuál es la ecuación de la recta mm?
Distinct lines ℓ\ell and mm lie in the xyxy-plane. They intersect at the origin. Point P(−1,4)P(-1, 4) is reflected about line ℓ\ell to point P′,P', and then P′P' is reflected about line mm to point P′′.P''. The equation of line ℓ\ell is 5x−y=0,5x - y = 0, and the coordinates of P′′P'' are (4,1).(4,1). What is the equation of line m?m?
5x+2y=0 5x+2y=0
3x+2y=0 3x+2y=0
x−3y=0 x-3y=0
2x−3y=0 2x-3y=0
5x−3y=0 5x-3y=0
Respuesta: D
Conceptos:transformaciónpendienteidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Dos reflexiones a través de rectas que se cortan equivalen a una rotación.
Two reflections through intersecting lines equal a rotation
Pista grande:
Compara el cambio de ángulo de (−1,4)(-1,4) a (4,1)(4,1).
Compare the angle change from (−1,4)(-1,4) to (4,1)(4,1)
Solución:
Dos reflexiones sobre rectas que pasan por el origen equivalen a una rotación por el doble del ángulo que va de la primera recta de reflexión a la segunda.
El punto (−1,4)(-1,4) se envía a (4,1),(4,1), lo cual es una rotación de 90∘90^\circ en sentido horario. Por lo tanto, la recta mm está 45∘45^\circ en sentido horario respecto a la recta ℓ.\ell.
La pendiente de ℓ\ell es 5.5. Si θm=θℓ−45∘,\theta_m=\theta_\ell-45^\circ, entonces tan⁡θm=5−11+5=23.\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.
Así, la recta mm es y=23x,y=\frac23x, o 2x−3y=0.2x-3y=0.
Por lo tanto, la respuesta es D.
Two reflections across lines through the origin are equivalent to a rotation by twice the angle from the first reflecting line to the second.
The point (−1,4)(-1,4) is sent to (4,1),(4,1), which is a 90∘90^\circ clockwise rotation. Therefore line mm is 45∘45^\circ clockwise from line ℓ.\ell.
The slope of ℓ\ell is 5.5. If θm=θℓ−45∘,\theta_m=\theta_\ell-45^\circ, then tan⁡θm=5−11+5=23.\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.
Thus line mm is y=23x,y=\frac23x, or 2x−3y=0.2x-3y=0.
Thus, the answer is D .
Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

El Problema 17 en otros años

2000 AMC 10 · 2001 AMC 10 · 2002 AMC 10A · 2002 AMC 10B · 2003 AMC 10A · 2003 AMC 10B · 2004 AMC 10A · 2004 AMC 10B · 2005 AMC 10A · 2005 AMC 10B · 2006 AMC 10A · 2006 AMC 10B · 2007 AMC 10A · 2007 AMC 10B · 2008 AMC 10A · 2008 AMC 10B · 2009 AMC 10A · 2009 AMC 10B · 2010 AMC 10A · 2010 AMC 10B · 2011 AMC 10A · 2011 AMC 10B · 2012 AMC 10A · 2012 AMC 10B · 2013 AMC 10A · 2013 AMC 10B · 2014 AMC 10A · 2014 AMC 10B · 2015 AMC 10A · 2015 AMC 10B · 2016 AMC 10A · 2016 AMC 10B · 2017 AMC 10A · 2017 AMC 10B · 2018 AMC 10A · 2018 AMC 10B · 2019 AMC 10A · 2019 AMC 10B · 2020 AMC 10A · 2020 AMC 10B · 2021 AMC 10A Spring · 2021 AMC 10B Spring · 2021 AMC 10A Fall · 2022 AMC 10A · 2022 AMC 10B · 2023 AMC 10A · 2023 AMC 10B · 2024 AMC 10A · 2024 AMC 10B · 2025 AMC 10A · 2025 AMC 10B