Question

Sea $N$ el único entero positivo tal que al dividir $273436$ entre $N$ queda un resto de $16,$ y al dividir $272760$ entre $N$ queda un resto de $15.$ ¿Cuál es la cifra de las decenas de $N$ ?

Let $N$ be the unique positive integer such that dividing $273436$ by $N$ leaves a remainder of $16,$ and dividing $272760$ by $N$ leaves a remainder of $15.$ What is the tens digit of $N?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Resta los restos. Tanto $273420 = 273436 - 16$ como $272745 = 272760 - 15$ son múltiplos de $N,$ así que su diferencia $675$ también lo es. Ahora $272745 = 404 \cdot 675 + 45,$ lo que hace que $45$ también sea múltiplo de $N.$ El resto $16$ significa que $N \gt 16,$ y el único divisor de $45$ mayor que $16$ es $45$ mismo. Así que $N = 45,$ y su cifra de las decenas es $4.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Subtract off the remainders. Both $273420 = 273436 - 16$ and $272745 = 272760 - 15$ are multiples of $N,$ so their difference $675$ is too. Now $272745 = 404 \cdot 675 + 45,$ which makes $45$ a multiple of $N$ as well. The remainder $16$ means $N \gt 16,$ and the only divisor of $45$ bigger than $16$ is $45$ itself. So $N = 45,$ and its tens digit is $4.$ Thus, E is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años