Question

Hay tres frascos. Cada una de tres monedas se coloca en uno de los tres frascos, elegido al azar e independientemente de las colocaciones de las otras monedas. ¿Cuál es el número esperado de monedas en un frasco con más monedas?

There are three jars. Each of three coins is placed in one of the three jars, chosen at random and independently of the placements of the other coins. What is the expected number of coins in a jar with the most coins?

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{39}{27}$

$\dfrac{5}{3}$

$\dfrac{17}{9}$

$2$

Solución:

Hay $3^3 = 27$ colocaciones igualmente probables. De estas, $3$ amontonan todas las monedas en un frasco (máximo $3$ ), y $6$ ponen una moneda en cada frasco (máximo $1$ ). Las otras $18$ se reparten $2$ - $1$ (máximo $2$ ). Así que el máximo esperado es $\frac{3 \cdot 3 + 2 \cdot 18 + 1 \cdot 6}{27} = \frac{51}{27} = \frac{17}{9}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

There are $3^3 = 27$ equally likely placements. Of these, $3$ pile all coins into one jar (max $3$ ), and $6$ put one coin in each jar (max $1$ ). The other $18$ split $2$ - $1$ (max $2$ ). So the expected maximum is $\frac{3 \cdot 3 + 2 \cdot 18 + 1 \cdot 6}{27} = \frac{51}{27} = \frac{17}{9}.$ Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años