Question

Tres corredores comienzan a correr simultáneamente desde el mismo punto de una pista circular de $500$ metros. Cada uno corre en el sentido de las agujas del reloj manteniendo velocidades constantes de $4.4, 4.8,$ y $5.0$ metros por segundo. Los corredores se detienen una vez que vuelven a estar todos juntos en algún punto de la pista circular. ¿Cuántos segundos corren los corredores?

Three runners start running simultaneously from the same point on a $500$ -meter circular track. They each run clockwise around the course maintaining constant speeds of $4.4, 4.8,$ and $5.0$ meters per second. The runners stop once they are all together again somewhere on the circular course. How many seconds do the runners run?

$1,000$

$1,250$

$2,500$

$5,000$

$10,000$

Solución:

Hallemos el tiempo que le toma al corredor que va a $4.8$ metros por segundo darle una vuelta a la persona más lenta.

Debemos tener que $4.8x - 4.4x = 500$ $x = 1250,$ donde $x$ es el tiempo que le toma al corredor más rápido darle una vuelta al otro.

Observa que $4.4 \cdot 1250 = 5500,$ lo que significa que estos dos corredores siempre se encuentran en la línea de salida.

Ahora debemos hallar el menor tiempo, $t,$ tal que $t$ sea múltiplo de $1250$ y el corredor más rápido termine en la línea de salida.

Cada $1250$ segundos, el corredor más rápido recorre $1250 \cdot 5 = 6250$ metros. Entonces en $2500$ segundos, el corredor más rápido recorre $12500$ metros, que es un número entero de vueltas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us find the amount of time that it takes for the runner running at $4.8$ meters per second to lap the slowest person.

We must have that $4.8x - 4.4x = 500$ $x = 1250,$ where $x$ is the amount of time it takes for the faster runner to lap the other.

Note that $4.4 \cdot 1250 = 5500,$ which means that these two runners always intersect at the starting line.

We now have to find the least time, $t,$ such that $t$ is a multiple of $1250$ and the fastest runner ends up at the starting line.

Every $1250$ seconds, the fastest runner runs $1250 \cdot 5 = 6250$ meters. Then in $2500$ seconds, the fastest runner runs $12500$ meters, which is a whole number of laps.

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años