Question

Si $y+4 = (x-2)^2,$ $x+4 = (y-2)^2,$ y $x \neq y$ , ¿cuál es el valor de $x^2+y^2$ ?

If we have that $y+4 = (x-2)^2,$ $x+4 = (y-2)^2,$ and $x \neq y,$ what is the value of $x^2+y^2?$

$10$

$15$

$20$

$25$

$\text{30}$

Solución:

Sumando las dos ecuaciones obtenemos $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8.$ Podemos reordenar esta ecuación para obtener $x^2 + y^2 = 5(x + y).$ Luego podemos restarlas para obtener $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x.$ Reordenando una vez más, encontramos $x^2 - y^2 = 3(x - y).$ Tenemos que $x \neq y$ , lo que significa que podemos dividir ambos lados entre $x - y$ . Esto nos da $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Adding the two equations gives us $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8.$ We can rearrange this equation to get $x^2 + y^2 = 5(x + y).$ We can then subtract them to get $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x.$ Once again rearranging, we can find $x^2 - y^2 = 3(x - y).$ We have that $x \neq y,$ which means that we can divide both sides by $x - y.$ This gives us $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15.$

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años