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2009 AMC 10B Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2009 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Los puntos AA y CC están sobre una circunferencia con centro en O,O, los segmentos BA‾\overline{BA} y BC‾\overline{BC} son tangentes a la circunferencia, y △ABC\triangle ABC es equilátero. La circunferencia corta a BO‾\overline{BO} en D.D. ¿Cuánto vale BDBO\dfrac{BD}{BO}?
Points AA and CC lie on a circle centered at O,O, each of BA‾\overline{BA} and BC‾\overline{BC} are tangent to the circle, and △ABC\triangle ABC is equilateral. The circle intersects BO‾\overline{BO} at D.D. What is BDBO?\dfrac{BD}{BO}?
23\dfrac{\sqrt2}{3}
12\dfrac12
33\dfrac{\sqrt3}{3}
22\dfrac{\sqrt2}{2}
32\dfrac{\sqrt3}{2}
Respuesta: B
Conceptos:recta tangentetriángulo rectángulo especialcírculo
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
El triángulo equilátero △ABC\triangle ABC da ∠OBC=30∘,\angle OBC=30^\circ, y OC⊥BCOC\perp BC.
Equilateral △ABC\triangle ABC gives ∠OBC=30∘,\angle OBC=30^\circ, and OC⊥BCOC\perp BC
Pista grande:
En un triángulo 3030-6060-9090 la hipotenusa BO=2 OCBO=2\,OC.
In a 3030-6060-9090 triangle the hypotenuse BO=2 OCBO=2\,OC
Solución:
Sea el radio r.r. Por simetría, BOBO biseca el ángulo 60∘60^\circ ABC,ABC, así que ∠OBC=30∘.\angle OBC=30^\circ. Como OC⊥BC,OC\perp BC, el triángulo BCOBCO es un triángulo 3030-6060-9090 con hipotenusa BO=2 OC=2r.BO=2\,OC=2r.
Entonces BD=BO−OD=2r−r=r,BD=BO-OD=2r-r=r, así que BDBO=r2r=12.\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the radius be r.r. By symmetry BOBO bisects the 60∘60^\circ angle ABC,ABC, so ∠OBC=30∘.\angle OBC=30^\circ. Since OC⊥BC,OC\perp BC, triangle BCOBCO is a 3030-6060-9090 triangle with hypotenuse BO=2 OC=2r.BO=2\,OC=2r.
Then BD=BO−OD=2r−r=r,BD=BO-OD=2r-r=r, so BDBO=r2r=12.\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.
Thus, the correct answer is B.
Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

El Problema 16 en otros años

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