Question

Los puntos $A$ y $C$ están sobre una circunferencia con centro en $O,$ los segmentos $\overline{BA}$ y $\overline{BC}$ son tangentes a la circunferencia, y $\triangle ABC$ es equilátero. La circunferencia corta a $\overline{BO}$ en $D.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{BD}{BO}$ ?

Points $A$ and $C$ lie on a circle centered at $O,$ each of $\overline{BA}$ and $\overline{BC}$ are tangent to the circle, and $\triangle ABC$ is equilateral. The circle intersects $\overline{BO}$ at $D.$ What is $\dfrac{BD}{BO}?$

$\dfrac{\sqrt2}{3}$

$\dfrac12$

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{\sqrt3}{2}$

Solución:

Sea $r$ el radio. Por simetría, $BO$ biseca el ángulo $60^\circ$ $ABC,$ así que $\angle OBC=30^\circ.$ Como $OC\perp BC,$ el triángulo $BCO$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con hipotenusa $BO=2\,OC=2r.$

Entonces $BD=BO-OD=2r-r=r,$ así que $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the radius be $r.$ By symmetry $BO$ bisects the $60^\circ$ angle $ABC,$ so $\angle OBC=30^\circ.$ Since $OC\perp BC,$ triangle $BCO$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with hypotenuse $BO=2\,OC=2r.$

Then $BD=BO-OD=2r-r=r,$ so $\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años