Question

Define un subno como un entero positivo de $2$ o más cifras donde las cifras son estrictamente crecientes de izquierda a derecha. De manera similar, define un bajno como un entero positivo de $2$ o más cifras donde las cifras son estrictamente decrecientes de izquierda a derecha. Por ejemplo, el número $258$ es un subno y $8620$ es un bajno. Sea $U$ el número total de subnos y sea $D$ el número total de bajnos. ¿Cuánto vale $|U - D|$ ?

Define an upno to be a positive integer of $2$ or more digits where the digits are strictly increasing moving left to right. Similarly, define a downno to be a positive integer of $2$ or more digits where the digits are strictly decreasing moving left to right. For instance, the number $258$ is an upno and $8620$ is a downno. Let $U$ equal the total number of upnos and let $D$ equal the total number of downnos. What is $|U - D|?$

$512$

$10$

$0$

$9$

$511$

Solución:

Un subno es simplemente una elección de al menos $2$ cifras, escritas en orden creciente. Un $0$ nunca puede aparecer: no puede ir al frente ni seguir a una cifra menor. Así que las cifras provienen de $\{1, \ldots, 9\},$ dando $U = 2^9 - 1 - 9 = 502.$ Un bajno puede terminar en $0,$ así que sus cifras son cualquier subconjunto de $\{0, \ldots, 9\}$ de tamaño $\ge 2,$ dando $D = 2^{10} - 1 - 10 = 1013.$ Así que $|U - D| = |502 - 1013| = 511.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

An upno is just a choice of at least $2$ digits, written in increasing order. A $0$ can never appear: it can't lead and can't follow a smaller digit. So the digits come from $\{1, \ldots, 9\},$ giving $U = 2^9 - 1 - 9 = 502.$ A downno can end in $0,$ so its digits are any subset of $\{0, \ldots, 9\}$ of size $\ge 2,$ giving $D = 2^{10} - 1 - 10 = 1013.$ So $|U - D| = |502 - 1013| = 511.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años