Question

¿Cuántos de los numerales en base diez de los enteros positivos menores o iguales que $2017$ contienen el dígito $0$ ?

How many of the base-ten numerals for the positive integers less than or equal to $2017$ contain the digit $0?$

$469$

$471$

$475$

$478$

$481$

Solución:

Para los números menores que $100,$ solo hay un $0$ si es múltiplo de $10,$ de los cuales hay $9.$

Para los números entre $100$ y $999$ inclusive, usaremos conteo complementario. Hay $900$ números en total en este rango. Además, hay $9\cdot 9\cdot 9=729$ números en este rango sin ningún $0$ , ya que hay $9$ formas de elegir cada cifra para que no sea $0.$ Por lo tanto, el total en este rango es $171.$

Para los números entre $1000$ y $1999$ inclusive, usaremos de nuevo conteo complementario. Hay $1000$ números en total en este rango. Además, hay $1\cdot 9\cdot 9\cdot 9=729$ números en este rango sin ningún $0$ , ya que hay $9$ formas de elegir cada una de las últimas $3$ cifras para que no sea $0$ y la primera cifra debe ser $1.$ Por lo tanto, el total en este rango es $271.$

Hay $18$ números entre $2000$ y $2017$ inclusive, cada uno con un $0$ en la segunda cifra desde la izquierda.

Esto hace que el total sea $9+171+271+18=469.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For numbers less than $100,$ we only have a $0$ if it is a multiple of $10,$ of which there are $9.$

For numbers between $100$ and $999$ inclusive, we will use complementary counting. There are $900$ total numbers in this range. Also, there are $9\cdot 9\cdot 9=729$ numbers in this range with no $0$ since there are $9$ ways to choose each digit to not be $0.$ Thus, the total in this range is $171.$

For numbers between $1000$ and $1999$ inclusive, we will use complementary counting again. There are $1000$ total numbers in this range. Also, there are $1\cdot 9\cdot 9\cdot 9=729$ numbers in this range with no $0$ since there are $9$ ways to choose each of the last $3$ digits to not be $0$ and the first digit must be $1.$ Thus, the total in this range is $271.$

There are $18$ numbers between $2000$ and $2017$ inclusive, each with a $0$ in the second digit from the left.

This makes the total $9+171+271+18=469.$

Thus, the correct answer is A .

2017 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años