Question

Hay $10$ caballos, llamados Caballo $1,$ Caballo $2,$ . . . , Caballo $10.$ Reciben sus nombres según cuántos minutos les toma dar una vuelta a una pista de carreras circular: el Caballo $k$ da una vuelta en exactamente $k$ minutos. En el tiempo $0$ todos los caballos están juntos en el punto de partida de la pista. Los caballos empiezan a correr en la misma dirección y siguen corriendo alrededor de la pista circular a sus velocidades constantes.

El menor tiempo $S > 0,$ en minutos, en el que los $10$ caballos vuelven a estar simultáneamente en el punto de partida es $S=2520.$ Sea $T > 0$ el menor tiempo, en minutos, tal que al menos $5$ de los caballos vuelvan a estar en el punto de partida. ¿Cuánto vale la suma de los dígitos de $T$ ?

There are $10$ horses, named Horse $1,$ Horse $2,$ . . . , Horse $10.$ They get their names from how many minutes it takes them to run one lap around a circular race track: Horse $k$ runs one lap in exactly $k$ minutes. At time $0$ all the horses are together at the starting point on the track. The horses start running in the same direction, and they keep running around the circular track at their constant speeds.

The least time $S > 0,$ in minutes, at which all $10$ horses will again simultaneously be at the starting point is $S=2520.$ Let $T > 0$ be the least time, in minutes, such that at least $5$ of the horses are again at the starting point. What is the sum of the digits of $T?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

El Caballo $k$ vuelve al punto de partida después de $t$ minutos exactamente cuando $k\mid t$ . Por lo tanto, necesitamos el menor $t$ positivo que sea divisible por al menos cinco de los enteros $1,2,\ldots,10$ .

Revisando hacia arriba, ningún número menor que $12$ tiene cinco divisores de esta lista: por ejemplo, $6$ tiene $1,2,3,6$ , $8$ tiene $1,2,4,8$ , $9$ tiene $1,3,9$ , y $10$ tiene $1,2,5,10$ .

El número $12$ es divisible por $1,2,3,4,$ y $6$ , así que el menor tiempo posible es $T=12$ . La suma de sus dígitos es $1+2=3$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Horse $k$ is back at the starting point after $t$ minutes exactly when $k\mid t$ . Thus we need the least positive $t$ that is divisible by at least five of the integers $1,2,\ldots,10$ .

Checking upward, no number below $12$ has five divisors from this list: for example, $6$ has $1,2,3,6$ , $8$ has $1,2,4,8$ , $9$ has $1,3,9$ , and $10$ has $1,2,5,10$ .

The number $12$ is divisible by $1,2,3,4,$ and $6$ , so the least possible time is $T=12$ . The sum of its digits is $1+2=3$ .

Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años