Question

Un cuadrado de lado $1$ y una circunferencia de radio $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ comparten el mismo centro. ¿Cuál es el área dentro de la circunferencia pero fuera del cuadrado?

A square of side length $1$ and a circle of radius $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ share the same center. What is the area inside the circle, but outside the square?

$\dfrac{\pi}{3}-1$

$\dfrac{2\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\pi}{18}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2\pi}{9}$

Solución:

Traza la altura desde $O$ hacia $\overline{AB}$ con pie en $X.$

Observando las longitudes de los lados, vemos que $\triangle OBX$ es un triángulo $30-60-90$ .

Esto significa que el área del sector $AOB$ es $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.$

También tenemos que el área de $\triangle AOB$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.$

El área del sector fuera del cuadrado y dentro de la circunferencia es entonces $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.$

Hay $4$ de estas regiones, lo que nos da un área total de $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Drop the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ at $X.$

Looking at the side lengths, we see that $\triangle OBX$ is a $30-60-90$ triangle.

This means that the area of sector $AOB$ is $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.$

We also have that the area of $\triangle AOB$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.$

The area of the sector outside the square and inside the circle is then $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.$

There are $4$ of these regions, which gives us a total area of $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años