Question

Un cuadrado de lado

1

y una circunferencia de radio

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

comparten el mismo centro. ¿Cuál es el área dentro de la circunferencia pero fuera del cuadrado?

A square of side length

1

and a circle of radius

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

share the same center. What is the area inside the circle, but outside the square?

\dfrac{\pi}{3}-1

\dfrac{2\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\dfrac{\pi}{18}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{2\pi}{9}

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo sector circular triángulo rectángulo especial descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Encuentra dónde la circunferencia corta uno de los lados del cuadrado.

Find where the circle cuts one side of the square

Pista grande:

Un lado aporta un segmento circular fuera del cuadrado.

One side contributes a circular segment outside the square

Solución:

Traza la altura desde

O

hacia

\overline{AB}

con pie en

X.

Observando las longitudes de los lados, vemos que

\triangle OBX

es un triángulo

30-60-90

.

Esto significa que el área del sector

AOB

es

\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.

También tenemos que el área de

\triangle AOB

es

\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.

El área del sector fuera del cuadrado y dentro de la circunferencia es entonces

\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.

Hay

4

de estas regiones, lo que nos da un área total de

4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Drop the altitude from

O

to

\overline{AB}

at

X.

Looking at the side lengths, we see that

\triangle OBX

is a

30-60-90

triangle.

This means that the area of sector

AOB

is

\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.

We also have that the area of

\triangle AOB

is

\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.

The area of the sector outside the square and inside the circle is then

\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.

There are

4

of these regions, which gives us a total area of

4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 16

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años