2002 AMC 10A Problema 16

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 16 del 2002 AMC 10A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1330

16.

Si $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ entonces $a+b+c+d$ es

If $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ then $a+b+c+d$ is

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{3}$

$5$

Sea el valor común igual a $k.$ Entonces $a=k-1,$ $b=k-2,$ $c=k-3,$ $d=k-4,$ así que $a+b+c+d=4k-10.$

Como $a+b+c+d+5=k,$ obtenemos $4k-10+5=k,$ así que $3k=5$ y $k=\dfrac{5}{3}.$ Entonces $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the common value be $k.$ Then $a=k-1,$ $b=k-2,$ $c=k-3,$ $d=k-4,$ so $a+b+c+d=4k-10.$

Since $a+b+c+d+5=k,$ we get $4k-10+5=k,$ so $3k=5$ and $k=\dfrac{5}{3}.$ Then $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is B.