Question

La ecuación cuadrática $x^2 + mx + n = 0$ tiene raíces que son el doble de las de $x^2 + px + m = 0,$ y ninguno de $m, n,$ y $p$ es cero. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{n}{p}$ ?

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m, n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Solución:

Sean $r_1$ y $r_2$ las raíces de $x^2 + px + m = 0,$ así que $m = r_1 r_2$ y $p = -(r_1 + r_2).$

Las raíces de $x^2 + mx + n = 0$ son $2r_1$ y $2r_2,$ así que $n = 4r_1 r_2$ y $-m = 2(r_1 + r_2).$

Entonces $n = 4m$ y $m = -2(r_1 + r_2) = 2p,$ así que $p = \dfrac{m}{2}.$ Por lo tanto $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $-m = 2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = -2(r_1 + r_2) = 2p,$ so $p = \dfrac{m}{2}.$ Therefore $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

Thus, D is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años