Question

Cinco bolas están dispuestas alrededor de un círculo. Chris elige dos bolas adyacentes al azar y las intercambia. Luego Silva hace lo mismo, y su elección de bolas adyacentes a intercambiar es independiente de la de Chris. ¿Cuál es el número esperado de bolas que ocupan sus posiciones originales después de estas dos transposiciones sucesivas?

Five balls are arranged around a circle. Chris chooses two adjacent balls at random and interchanges them. Then Silva does the same, with her choice of adjacent balls to interchange being independent of Chris's. What is the expected number of balls that occupy their original positions after these two successive transpositions?

$1.6$

$1.8$

$2.0$

$2.2$

$2.4$

Solución:

Después de que Chris elige un par adyacente, Silva tiene $5$ pares adyacentes igualmente probables para elegir.

Si Silva elige el mismo par, las $5$ bolas regresan a sus posiciones originales. Esto tiene probabilidad $\frac15$ .

Si Silva elige un par que comparte exactamente una bola con el par de Chris, entonces $2$ bolas están en sus posiciones originales. Hay $2$ pares de este tipo, así que esto tiene probabilidad $\frac25$ .

Si Silva elige un par adyacente disjunto, entonces $1$ bola está en su posición original. Esto también tiene probabilidad $\frac25$ .

El número esperado es $\begin{aligned} 5\cdot\frac15+2\cdot\frac25+1\cdot\frac25&=\frac{11}{5}\\ &=2.2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta es D.

After Chris chooses an adjacent pair, Silva has $5$ equally likely adjacent pairs to choose.

If Silva chooses the same pair, all $5$ balls return to their original positions. This has probability $\frac15$ .

If Silva chooses a pair sharing exactly one ball with Chris's pair, then $2$ balls are in their original positions. There are $2$ such pairs, so this has probability $\frac25$ .

If Silva chooses a disjoint adjacent pair, then $1$ ball is in its original position. This also has probability $\frac25$ .

The expected number is $\begin{aligned} 5\cdot\frac15+2\cdot\frac25+1\cdot\frac25&=\frac{11}{5}\\ &=2.2. \end{aligned}$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años