Question

Los enteros $a, b, c,$ y $d,$ no necesariamente distintos, se eligen independientemente y al azar de $0$ a $2007,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que $ad - bc$ sea par?

Integers $a, b, c,$ and $d,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $0$ to $2007,$ inclusive. What is the probability that $ad - bc$ is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

Solución:

La mitad de los enteros de $0$ a $2007$ son impares, así que cada uno de $ad$ y $bc$ es impar con probabilidad $\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$ y par con probabilidad $\tfrac34.$

La diferencia $ad - bc$ es par cuando ambos productos tienen la misma paridad: $\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Half the integers from $0$ to $2007$ are odd, so each of $ad$ and $bc$ is odd with probability $\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$ and even with probability $\tfrac34.$

The difference $ad - bc$ is even when both products have the same parity: $\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años