Question

Los enteros

a,

b,

c,

y

d,

no necesariamente distintos, se eligen independientemente y al azar de

0

a

2007,

inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que

ad - bc

sea par?

Integers

a,

b,

c,

and

d,

not necessarily distinct, are chosen independently and at random from

0

to

2007,

inclusive. What is the probability that

ad - bc

is even?

\dfrac{3}{8}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{5}{8}

Respuesta: E

Conceptos:paridad probabilidad básica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

ad - bc

es par exactamente cuando

ad

y

bc

tienen la misma paridad.

ad - bc

is even exactly when

ad

and

bc

have the same parity

Pista grande:

Un producto es impar solo si ambos factores son impares, lo que ocurre con probabilidad

\tfrac14

.

A product is odd only if both factors are odd, which happens with probability

\tfrac14

Solución:

La mitad de los enteros de

0

a

2007

son impares, así que cada uno de

ad

y

bc

es impar con probabilidad

\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14

y par con probabilidad

\tfrac34.

La diferencia

ad - bc

es par cuando ambos productos tienen la misma paridad:

\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Half the integers from

0

to

2007

are odd, so each of

ad

and

bc

is odd with probability

\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14

and even with probability

\tfrac34.

The difference

ad - bc

is even when both products have the same parity:

\tfrac14 \cdot \tfrac14 + \tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac58.

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 10A Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años