Question

Llama a un entero positivo entero cuesta arriba si cada dígito es estrictamente mayor que el anterior. Por ejemplo, $1357, 89,$ y $5$ son todos enteros cuesta arriba, pero $32, 1240,$ y $466$ no lo son. ¿Cuántos enteros cuesta arriba son divisibles por $15$ ?

Call a positive integer an uphill integer if every digit is strictly greater than the previous digit. For example, $1357, 89,$ and $5$ are all uphill integers, but $32, 1240,$ and $466$ are not. How many uphill integers are divisible by $15?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución en video:

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Solución escrita:

Si un número es divisible por $15,$ su dígito de las unidades es $0$ o $5.$ Si el dígito de las unidades es $0$ y los dígitos son estrictamente crecientes, entonces el número es $0,$ que no es positivo. Por lo tanto, solo hay que considerar los números con dígito de las unidades $5.$

A continuación, buscamos enteros cuesta arriba que sean múltiplos de $3$ . Esto significa que los demás dígitos forman un subconjunto de $\{1,2,3,4\}$ . La suma del conjunto debe tener residuo $1$ al dividir por $3$ . Además, incluir o quitar el $3$ no afecta el residuo, así que podemos contar los subconjuntos sin el $3$ y multiplicar por $2$ . Solo hay $3$ subconjuntos así, a saber $\{1\}, \{4\},$ y $\{1,2,4\}$ . Por lo tanto, hay $6$ subconjuntos en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If a number is divisible by $15,$ it has a units digit of $0$ or $5.$ If the units digit is $0$ and the digits are strictly increasing, then the number is $0,$ which isn't positive. Therefore, we can just look at numbers with a units digit of $5.$

Next, we need to find uphill integers that are a multiple of $3.$ This means the other digits are a subset of $\{1,2,3,4\}.$ Taking the sum of the set must have a remainder of $1$ when divided by $3.$ Also, having or taking out $3$ wouldn't affect the remainder, so we can take the number of subsets without a $3$ and multiply it by $2.$ There are only $3$ such subsets, namely $\{1\}, \{4\},$ and $\{1,2,4\}.$ Thus, there are $6$ total subsets.

Thus, the correct answer is C .

2021 AMC 10B Spring Problema 16

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 16 en otros años