Question

El número real $x$ satisface la ecuación $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ ¿Cuál es el valor de $x^{11}-7x^{7}+x^3$ ?

The real number $x$ satisfies the equation $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ What is the value of $x^{11}-7x^{7}+x^3?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

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Solución escrita:

Como $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ al elevar al cuadrado obtenemos $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Al elevar al cuadrado de nuevo: $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ es decir $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplicando por $x^7$ , obtenemos $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Since $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ squaring yields $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Squaring again yields $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplying by $x^7$ yields $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring Problema 15

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Solución escrita:

El Problema 15 en otros años