Question

Un alambre se corta en dos piezas, una de longitud $a$ y la otra de longitud $b$ . La pieza de longitud $a$ se dobla para formar un triángulo equilátero, y la pieza de longitud $b$ se dobla para formar un hexágono regular. El triángulo y el hexágono tienen la misma área. ¿Cuánto vale $\frac{a}{b}$ ?

A wire is cut into two pieces, one of length $a$ and the other of length $b.$ The piece of length $a$ is bent to form an equilateral triangle, and the piece of length $b$ is bent to form a regular hexagon. The triangle and the hexagon have equal area. What is $\frac{a}{b}?$

$1$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del triángulo equilátero. Sea $A$ su área. Entonces $a=3s.$

De este modo, un hexágono con lado $s$ tendría $6$ triángulos equiláteros, con longitud de lado $s,$ por lo que su área es $6A.$

Por lo tanto, la longitud del lado del hexágono con área $A$ es igual a $\dfrac{s}{\sqrt 6} .$ Así, $b = 6\cdot \dfrac{s}{\sqrt 6} = s\sqrt 6 .$

Esto hace que $\dfrac ab = \dfrac{3s}{s\sqrt 6} = \dfrac{3 \sqrt 6}6 = \dfrac{\sqrt 6} 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the side length of the equilateral triangle be $s.$ Then, let its area be $A.$ This would make $a=3s.$

As such, a hexagon with side $s$ would have $6$ equilateral triangles, with side length $s,$ making its area $6A.$

Therefore, the side length of the hexagon with area $A$ is equal to $\dfrac{s}{\sqrt 6} .$ As such, $b = 6\cdot \dfrac{s}{\sqrt 6} = s\sqrt 6 .$

This makes $\dfrac ab = \dfrac{3s}{s\sqrt 6} = \dfrac{3 \sqrt 6}6 = \dfrac{\sqrt 6} 2.$

Thus, the correct answer is B .

2013 AMC 10B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años