Question

Dos lados de un triángulo tienen longitudes $10$ y $15.$ La longitud de la altura al tercer lado es el promedio de las longitudes de las alturas a los dos lados dados. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Two sides of a triangle have lengths $10$ and $15.$ The length of the altitude to the third side is the average of the lengths of the altitudes to the two given sides. How long is the third side?

$6$

$8$

$9$

$12$

$18$

Solución:

Sea $h_1$ la longitud de la altura al lado de longitud $10$ y define de forma análoga $h_2$ para el otro lado dado.

Tenemos que $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

La tercera altura es el promedio de las otras dos, lo que hace que su longitud sea $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

Sea $x$ la longitud del tercer lado. Entonces $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $h_1$ be the length of the altitude to the side of length $10$ and similarly define $h_2$ for the other given side.

We have that $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

The third altitude is the average of the other two, which makes its length $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

Let the third side have length $x.$ Then $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

Thus, D is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años