Question

Una sucesión de números se define recursivamente por $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ y $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ para todo $n \geq 3.$ Entonces $a_{2019}$ puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A sequence of numbers is defined recursively by $a_1 = 1,$ $a_2 = \frac{3}{7},$ and $a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$ for all $n \geq 3.$ Then $a_{2019}$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q ?$

$2020$

$4039$

$6057$

$6061$

$8078$

Solución:

Tomando recíprocos en la fórmula recursiva se obtiene $\begin{align*} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n - 2} - a_{n - 1}}{a_{n - 2} \cdot a_{n - 1}} \\&= \dfrac{2}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}. \end{align*}$

Esto significa que $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ lo que nos dice que $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ es una sucesión aritmética.

Usando $a_1$ y $a_2,$ obtenemos que la diferencia común es $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

De esto, obtenemos que $\begin{align*} \dfrac{1}{a_{2019}} &= 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} \\&= \dfrac{8075}{3}. \end{align*}$

$p + q$ es, por lo tanto, $8075 + 3 = 8078.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Taking reciprocals in the recursive formula gives $\begin{align*} \dfrac{1}{a_n} &= \dfrac{2a_{n - 2} - a_{n - 1}}{a_{n - 2} \cdot a_{n - 1}} \\&= \dfrac{2}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}. \end{align*}$

This means that $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}},$ which tells us that $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ is an arithmetic sequence.

Using $a_1$ and $a_2,$ we get that the common difference is $\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.$

From this, we get that $\begin{align*} \dfrac{1}{a_{2019}} &= 1 + 2018 \cdot \dfrac{4}{3} \\&= \dfrac{8075}{3}. \end{align*}$

$p + q$ is therefore $8075 + 3 = 8078.$

Thus, E is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años