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2019 AMC 10A Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2019 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Una sucesión de números se define recursivamente por a1=1,a_1 = 1, a2=37,a_2 = \frac{3}{7}, y an=an−2⋅an−12an−2−an−1a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}para todo n≥3.n \geq 3. Entonces a2019a_{2019} puede escribirse como pq,\frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale p+qp+q?
A sequence of numbers is defined recursively by a1=1,a_1 = 1, a2=37,a_2 = \frac{3}{7}, and an=an−2⋅an−12an−2−an−1a_n=\dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}} for all n≥3.n \geq 3. Then a2019a_{2019} can be written as pq,\frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. What is p+q?p+q ?
20202020
40394039
60576057
60616061
80788078
Respuesta: E
Conceptos:recursiónsucesión aritméticasustitución
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Toma los recíprocos de la recurrencia.
Take reciprocals of the recurrence
Pista grande:
La sucesión de recíprocos se vuelve aritmética.
The reciprocal sequence becomes arithmetic
Solución:
Tomando recíprocos en la fórmula recursiva se obtiene 1an=2an−2−an−1an−2an−1=2an−1−1an−2. \begin{aligned} \frac1{a_n} &=\frac{2a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}}\\ &=\frac2{a_{n-1}}-\frac1{a_{n-2}}. \end{aligned}
Esto significa que 1an−1an−1=1an−1−1an−2, \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}, lo que nos dice que {1an}\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\} es una sucesión aritmética.
Usando a1a_1 y a2,a_2, obtenemos que la diferencia común es 137−11=73−1=43.\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.
Por lo tanto 1a2019=1+2018⋅43=80753,\frac1{a_{2019}}=1+2018\cdot\frac43=\frac{8075}{3}, así que a2019=38075.a_{2019}=\frac3{8075}.
p+qp + q es, por lo tanto, 8075+3=8078.8075 + 3 = 8078.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Taking reciprocals in the recursive formula gives 1an=2an−2−an−1an−2an−1=2an−1−1an−2. \begin{aligned} \frac1{a_n} &=\frac{2a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-2}a_{n-1}}\\ &=\frac2{a_{n-1}}-\frac1{a_{n-2}}. \end{aligned}
This means that 1an−1an−1=1an−1−1an−2, \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n - 1}} = \dfrac{1}{a_{n - 1}} - \dfrac{1}{a_{n - 2}}, which tells us that {1an}\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\} is an arithmetic sequence.
Using a1a_1 and a2,a_2, we get that the common difference is 137−11=73−1=43.\dfrac{1}{\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{1} = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}.
Therefore 1a2019=1+2018⋅43=80753,\frac1{a_{2019}}=1+2018\cdot\frac43=\frac{8075}{3}, so a2019=38075.a_{2019}=\frac3{8075}.
p+qp + q is therefore 8075+3=8078.8075 + 3 = 8078.
Thus, E is the correct answer.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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