Question

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están en dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Solución:

Los valores $0,1,3,4,5,$ y $6$ son alcanzables. Cuatro rectas paralelas dan $0$ ; cuatro rectas concurrentes dan $1$ ; tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan $3$ ; tres rectas concurrentes más una cuarta que no pasa por ese punto dan $4$ ; tres rectas que forman un triángulo más una cuarta paralela a un lado dan $5$ ; y cuatro rectas en posición general dan $\binom42=6$ .

Queda descartar $2$ . Supongamos que los únicos puntos de intersección son $X$ e $Y$ . Si ninguna recta pasa por ambos, entonces todas las rectas que pasan por $X$ deben ser paralelas a las que pasan por $Y$ para evitar nuevas intersecciones, lo cual es imposible porque dos rectas distintas que pasan por $X$ no son paralelas. Si una recta pasa por $X$ e $Y$ , entonces cualquier otra recta que pase por $X$ y cualquier otra que pase por $Y$ deben ser paralelas; la cuarta recta sigue creando una intersección adicional a menos que sea paralela a ambas, lo cual no puede cubrir ambos puntos.

Así, los valores posibles son $0,1,3,4,5,6$ , cuya suma es $19$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The values $0,1,3,4,5,$ and $6$ are attainable. Four parallel lines give $0$ , four concurrent lines give $1$ , three parallel lines cut by a fourth give $3$ , three concurrent lines plus a fourth not through that point give $4$ , three lines forming a triangle plus a fourth parallel to one side give $5$ , and four lines in general position give $\binom42=6$ .

It remains to rule out $2$ . Suppose the only intersection points are $X$ and $Y$ . If no line passes through both, then the lines through $X$ must all be parallel to the lines through $Y$ to avoid new intersections, which is impossible because two distinct lines through $X$ are not parallel. If one line passes through both $X$ and $Y$ , then any other line through $X$ and any other line through $Y$ must be parallel; the fourth line still creates an additional intersection unless it is parallel to both, which cannot cover both points.

Thus the possible values are $0,1,3,4,5,6$ , whose sum is $19$ . Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años