Question

Sean $a$ y $b$ las raíces de la ecuación $x^2-mx+2=0.$ Supongamos que $a+\tfrac1b$ y $b+\tfrac1a$ son las raíces de la ecuación $x^2-px+q=0.$ ¿Cuánto vale $q$ ?

Let $a$ and $b$ be the roots of the equation $x^2-mx+2=0.$ Suppose that $a+\tfrac1b$ and $b+\tfrac1a$ are the roots of the equation $x^2-px+q=0.$ What is $q?$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$8$

Solución:

Como $a$ y $b$ son raíces de $x^2-mx+2,$ se tiene $ab=2.$

El valor $q$ es el producto de las nuevas raíces: $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $a$ and $b$ are roots of $x^2-mx+2,$ we have $ab=2.$

The value $q$ is the product of the new roots: $\begin{aligned} q&=\left(a+\tfrac1b\right)\left(b+\tfrac1a\right)\\ &=ab+1+1+\tfrac{1}{ab}\\ &=2+2+\tfrac12=\tfrac92. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años