Question

Se elige un número al azar entre los primeros $100$ enteros positivos, y luego se elige al azar un divisor entero positivo de ese número. ¿Cuál es la probabilidad de que el divisor elegido sea divisible entre $11$ ?

A number is chosen at random from among the first $100$ positive integers, and a positive integer divisor of that number is then chosen at random. What is the probability that the chosen divisor is divisible by $11?$

$\dfrac{4}{100}$

$\dfrac{9}{200}$

$\dfrac{1}{20}$

$\dfrac{11}{200}$

$\dfrac{3}{50}$

Solución:

Un número $n \le 100$ solo puede tener un divisor divisible entre $11$ cuando $11 \mid n,$ así que $n \in \{11, 22, \ldots, 99\}.$ Escribe $n = 11m$ con $m \le 9.$ Aquí $11 \nmid m,$ así que $d(11m) = 2\,d(m),$ y los divisores que son múltiplos de $11$ son exactamente los $d(m)$ números $11d.$ Eso hace que la probabilidad sea $\frac{d(m)}{2\,d(m)} = \frac12$ para cada uno de esos $n.$ Promediando sobre los $100$ números iniciales, la probabilidad es $\frac{1}{100}\sum_{m=1}^{9}\frac12 = \frac{9}{200}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

A number $n \le 100$ can only have a divisor divisible by $11$ when $11 \mid n,$ so $n \in \{11, 22, \ldots, 99\}.$ Write $n = 11m$ with $m \le 9.$ Here $11 \nmid m,$ so $d(11m) = 2\,d(m),$ and the divisors that are multiples of $11$ are exactly the $d(m)$ numbers $11d.$ That makes the chance $\frac{d(m)}{2\,d(m)} = \frac12$ for each such $n.$ Averaging over all $100$ starting numbers, the probability is $\frac{1}{100}\sum_{m=1}^{9}\frac12 = \frac{9}{200}.$ Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años