Question

Define $a\clubsuit b=a^2b-ab^2$ . ¿Cuál de las siguientes opciones describe el conjunto de puntos $(x, y)$ para los que $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ ?

Define $a\clubsuit b=a^2b-ab^2 .$ Which of the following describes the set of points $(x, y)$ for which $x\clubsuit y=y\clubsuit x ?$

Un conjunto finito de puntos

A finite set of points

Una recta

One line

Dos rectas paralelas

Two parallel lines

Dos rectas que se cortan

Two intersecting lines

Tres rectas

Three lines

La condición $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ se desarrolla como $x^2y-xy^2=y^2x-yx^2$ .

Al combinar términos semejantes y factorizar se obtiene $2x^2y-2xy^2=2xy(x-y)=0$ .

Por lo tanto, $x=0$ , $y=0$ o $x=y$ , y estas son tres rectas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition is $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ , so $x^2y-xy^2=y^2x-yx^2$ .

Combining like terms gives $2x^2y-2xy^2=2xy(x-y)=0$ .

Thus $x=0$ , $y=0$ , or $x=y$ . These are three lines.

Thus, the correct answer is E .