Question

Se elige al azar un entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$ . ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo de $N^{16}$ al dividirlo entre $5$ sea $1$ ?

An integer $N$ is selected at random in the range $1\leq N \leq 2020$ . What is the probability that the remainder when $N^{16}$ is divided by $5$ is $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Solución:

Por el pequeño teorema de Fermat, sabemos que $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ si $a$ y $p$ son primos entre sí.

Por lo tanto, $a^4 \equiv 1 \mod 5,$ lo que da: $a^{16} \equiv (a^4)^4 \equiv 1 \mod 5$ si $a$ y $5$ son primos entre sí.

Como $5$ es primo, son primos entre sí si $a$ no es múltiplo de $5.$ Hay $\frac{2020} 5 =404$ múltiplos de $5,$ así que hay $1616$ números que no son múltiplos de $5.$

Todos los múltiplos de $5,$ al elevarse a la potencia $16$ , tienen residuo $0$ al dividirse entre $5,$ así que no se incluyen. Por lo tanto, hay exactamente $1616$ de $2020$ números que funcionan. Esto hace que la probabilidad sea $\frac{1616}{2020} = \frac 45.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By Fermat's Little Theorem, we know that $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ if $a$ and $p$ are relatively prime.

Therefore, $a^4 \equiv 1 \mod 5,$ which makes: $a^{16} \equiv (a^4)^4 \equiv 1 \mod 5$ if $a$ and $5$ are relatively prime.

Since $5$ is a prime, they are relatively prime if $a$ isn't a multiple of $5.$ There are $\frac{2020} 5 =404$ multiples of $5,$ so there are $1616$ non-multiples of $5.$

All multiples of $5,$ when taken to the $16$ th power, have a remainder of $0$ when divided by $5$ so they aren't included. Thus, there are exactly $1616$ of $2020$ numbers that work. This makes the probability $\frac{1616}{2020} = \frac 45.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años