Question

Tres rectas paralelas equidistantes cortan un círculo, formando tres cuerdas de longitudes $38,38$ y $34$ . ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\frac12$

$6$

$6\frac12$

$7$

$7\frac12$

Solución en video:

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Solución escrita:

Las dos cuerdas de longitud $38$ están a la misma distancia del centro del círculo. Como las tres rectas paralelas son equidistantes, esas dos cuerdas iguales deben estar en rectas adyacentes, con el centro a la mitad entre ellas. Sea esa mitad de la distancia $d$ . Entonces cada cuerda de $38$ está a distancia $d$ del centro, y la cuerda de $34$ está a distancia $3d$ del centro.

Si el círculo tiene radio $r$ , entonces

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Por lo tanto $19^2-17^2=8d^2$ , así que $72=8d^2$ , y $d=3$ . La distancia entre rectas paralelas adyacentes es $2d=6$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The two chords of length $38$ are equally far from the center of the circle. Because the three parallel lines are equally spaced, those two equal chords must lie on adjacent lines, with the center halfway between them. Let that half-distance be $d$ . Then each $38$ -chord is distance $d$ from the center, and the $34$ -chord is distance $3d$ from the center.

If the circle has radius $r$ , then

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Thus $19^2-17^2=8d^2$ , so $72=8d^2$ , and $d=3$ . The distance between adjacent parallel lines is $2d=6$ .

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring Problema 14

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Solución escrita:

El Problema 14 en otros años