Question

Varios anillos enlazados, cada uno de $1$ cm de grosor, cuelgan de un clavo. El anillo superior tiene un diámetro exterior de $20$ cm. El diámetro exterior de cada uno de los otros anillos es $1$ cm menor que el del anillo que está encima. El anillo inferior tiene un diámetro exterior de $3$ cm. ¿Cuál es la distancia, en cm, desde la parte superior del anillo superior hasta la parte inferior del anillo inferior?

A number of linked rings, each $1$ cm thick, are hanging on a peg. The top ring has an outside diameter of $20$ cm. The outside diameter of each of the other rings is $1$ cm less than that of the ring above it. The bottom ring has an outside diameter of $3$ cm. What is the distance, in cm, from the top of the top ring to the bottom of the bottom ring?

$171$

$173$

$182$

$188$

$210$

Solución:

El anillo superior aporta su diámetro exterior completo, $20$ cm. Como los anillos tienen $1$ cm de grosor, cada anillo cuelga $2$ cm por debajo de la parte superior del anillo que está encima, así que cada anillo inferior añade su diámetro exterior menos $2.$

Los diámetros exteriores son $20, 19, \ldots, 3,$ así que las distancias añadidas son $17, 16, \ldots, 1.$ El total es $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The top ring contributes its full outside diameter, $20$ cm. Because the rings are $1$ cm thick, each ring hangs $2$ cm below the top of the ring above it, so each lower ring adds its outside diameter minus $2.$

The outside diameters run $20, 19, \ldots, 3,$ so the added distances are $17, 16, \ldots, 1.$ The total is $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años