Question

Las pantallas de televisión más antiguas tienen una relación de aspecto de $4:3.$ Es decir, la razón entre el ancho y el alto es $4:3.$ La relación de aspecto de muchas películas no es $4:3,$ por lo que a veces se muestran en una pantalla de televisión mediante el "letterboxing", oscureciendo franjas de igual altura en la parte superior e inferior de la pantalla, como se muestra. Supón que una película tiene una relación de aspecto de $2:1$ y se muestra en una pantalla de televisión antigua con una diagonal de $27$ pulgadas. ¿Cuál es la altura, en pulgadas, de cada franja oscurecida?

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by "letterboxing" — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

Solución:

Como la pantalla es $4:3$ con una diagonal de $27$ pulgadas, $h : w : 27 = 3 : 4 : 5,$ lo que da altura $h = \dfrac{3}{5}\cdot 27 = 16.2$ y ancho $w = \dfrac{4}{5}\cdot 27 = 21.6.$

La región iluminada $2:1$ tiene el ancho completo $21.6$ y altura $\dfrac{21.6}{2} = 10.8.$

Las dos franjas comparten la altura restante, así que cada una tiene altura $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since the screen is $4:3$ with a $27$ -inch diagonal, $h : w : 27 = 3 : 4 : 5,$ giving height $h = \dfrac{3}{5}\cdot 27 = 16.2$ and width $w = \dfrac{4}{5}\cdot 27 = 21.6.$

The lit $2:1$ region has the full width $21.6$ and height $\dfrac{21.6}{2} = 10.8.$

The two strips share the remaining height, so each has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7.$

Thus, the correct answer is D.

2008 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años