Soluciones del 2008 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El dueño de una panadería enciende su máquina de donas a las $8{:}30$ am. A las $11{:}10$ am la máquina ha completado un tercio del trabajo del día. ¿A qué hora terminará la máquina de donas el trabajo?

A bakery owner turns on his doughnut machine at $8{:}30$ am. At $11{:}10$ am the machine has completed one third of the day's job. At what time will the doughnut machine complete the job?

$1{:}50$ pm

$3{:}00$ pm

$3{:}30$ pm

$4{:}30$ pm

$5{:}50$ pm

Conceptos:fecha y hora razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Solución:

De las $8{:}30$ am a las $11{:}10$ am hay $2$ horas y $40$ minutos, es decir $160$ minutos, para terminar un tercio del trabajo.

Por lo tanto, el trabajo entero tarda $3 \cdot 160 = 480$ minutos, o sea $8$ horas.

Ocho horas después de las $8{:}30$ am son las $4{:}30$ pm.

Así, la respuesta correcta es D.

From $8{:}30$ am to $11{:}10$ am is $2$ hours and $40$ minutes, or $160$ minutes, to finish one third of the job.

The entire job therefore takes $3 \cdot 160 = 480$ minutes, or $8$ hours.

Eight hours after $8{:}30$ am is $4{:}30$ pm.

Thus, the correct answer is D.

2.

Se dibuja un cuadrado dentro de un rectángulo. La razón entre el ancho del rectángulo y un lado del cuadrado es $2:1.$ La razón entre el largo del rectángulo y su ancho es $2:1.$ ¿Qué porcentaje del área del rectángulo está dentro del cuadrado?

A square is drawn inside a rectangle. The ratio of the width of the rectangle to a side of the square is $2:1.$ The ratio of the rectangle's length to its width is $2:1.$ What percent of the rectangle's area is inside the square?

$12.5$

$25$

$50$

$75$

$87.5$

Conceptos:razón de áreas porcentaje

Nivel de dificultad: 840

Solución:

Sea $s$ el lado del cuadrado, de modo que su área es $s^2.$

El ancho del rectángulo es $2s,$ y su largo es $2 \cdot 2s = 4s,$ lo que da un área de $8s^2.$

La fracción dentro del cuadrado es $\dfrac{s^2}{8s^2} = \dfrac{1}{8} = 12.5\%.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let the side of the square be $s,$ so its area is $s^2.$

The width of the rectangle is $2s,$ and its length is $2 \cdot 2s = 4s,$ giving an area of $8s^2.$

The fraction inside the square is $\dfrac{s^2}{8s^2} = \dfrac{1}{8} = 12.5\%.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Para el entero positivo $n,$ sea $\langle n \rangle$ la suma de todos los divisores positivos de $n$ con excepción del propio $n.$ Por ejemplo, $\langle 4 \rangle = 1 + 2 = 3$ y $\langle 12 \rangle = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.$ ¿Cuánto vale $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle$ ?

For the positive integer $n,$ let $\langle n \rangle$ denote the sum of all the positive divisors of $n$ with the exception of $n$ itself. For example, $\langle 4 \rangle = 1 + 2 = 3$ and $\langle 12 \rangle = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.$ What is $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle?$

$6$

$12$

$24$

$32$

$36$

Conceptos:suma de factores función

Nivel de dificultad: 940

Solución:

Los divisores positivos de $6$ distintos de $6$ son $1, 2$ y $3,$ así que $\langle 6 \rangle = 1 + 2 + 3 = 6.$

Como aplicar la operación a $6$ de nuevo devuelve $6,$ obtenemos $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle = 6.$

(Un número igual a la suma de sus divisores propios se llama número perfecto, y $6$ es el más pequeño.)

Así, la respuesta correcta es A.

The positive divisors of $6$ other than $6$ are $1, 2,$ and $3,$ so $\langle 6 \rangle = 1 + 2 + 3 = 6.$

Since applying the operation to $6$ again returns $6,$ we get $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle = 6.$

(A number equal to the sum of its proper divisors is called a perfect number, and $6$ is the smallest.)

Thus, the correct answer is A.

4.

Supón que los $\dfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos valen tanto como $8$ naranjas. ¿Cuántas naranjas valen tanto como la $\dfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos?

Suppose that $\dfrac{2}{3}$ of $10$ bananas are worth as much as $8$ oranges. How many oranges are worth as much as $\dfrac{1}{2}$ of $5$ bananas?

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

Conceptos:razón y proporción tasa

Nivel de dificultad: 1040

Solución:

Como los $\dfrac{2}{3}$ de $10$ plátanos son $\dfrac{20}{3}$ plátanos que valen $8$ naranjas, un plátano vale $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{6}{5}$ naranjas.

Ahora bien, la $\dfrac{1}{2}$ de $5$ plátanos son $\dfrac{5}{2}$ plátanos, que valen $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ naranjas.

Así, la respuesta correcta es C.

Since $\dfrac{2}{3}$ of $10$ bananas is $\dfrac{20}{3}$ bananas worth $8$ oranges, one banana is worth $8 \div \dfrac{20}{3} = \dfrac{6}{5}$ oranges.

Now $\dfrac{1}{2}$ of $5$ bananas is $\dfrac{5}{2}$ bananas, worth $\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = 3$ oranges.

Thus, the correct answer is C.

5.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual al producto

$\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \cdots \dfrac{4n+4}{4n} \\ &\quad \cdots \dfrac{2008}{2004} \end{aligned}$ ?

Which of the following is equal to the product

$\begin{aligned} &\dfrac{8}{4} \cdot \dfrac{12}{8} \cdot \dfrac{16}{12} \cdots \dfrac{4n+4}{4n} \\ &\quad \cdots \dfrac{2008}{2004}? \end{aligned}$

$251$

$502$

$1004$

$2008$

$4016$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Todos los denominadores salvo el primero se cancelan con el numerador de la fracción anterior, así que el producto entero se telescopa a $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Así, la respuesta correcta es B.

Every denominator except the first cancels with the numerator of the previous fraction, so the whole product telescopes to $\dfrac{2008}{4} = 502.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Un triatleta compite en un triatlón en el que los segmentos de natación, ciclismo y carrera tienen todos la misma longitud. El triatleta nada a una velocidad de $3$ kilómetros por hora, pedalea a $20$ kilómetros por hora y corre a $10$ kilómetros por hora. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a la velocidad media del triatleta, en kilómetros por hora, para toda la carrera?

A triathlete competes in a triathlon in which the swimming, biking, and running segments are all of the same length. The triathlete swims at a rate of $3$ kilometers per hour, bikes at a rate of $20$ kilometers per hour, and runs at a rate of $10$ kilometers per hour. Which of the following is closest to the triathlete's average speed, in kilometers per hour, for the entire race?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo media armónica

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Sea $x$ la longitud de cada segmento. El tiempo total es $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{20} + \dfrac{x}{10} = \dfrac{29}{60}x$ horas para la distancia $3x.$

La velocidad media es $\dfrac{3x}{\frac{29}{60}x} = \dfrac{180}{29} \approx 6.2,$ que es la más cercana a $6.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let each segment have length $x.$ The total time is $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{20} + \dfrac{x}{10} = \dfrac{29}{60}x$ hours for the distance $3x.$

The average speed is $\dfrac{3x}{\frac{29}{60}x} = \dfrac{180}{29} \approx 6.2,$ which is closest to $6.$

Thus, the correct answer is D.

7.

¿La fracción

$\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}$

se simplifica a cuál de las siguientes opciones?

The fraction

$\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}$

simplifies to which of the following?

$1$

$\dfrac{9}{4}$

$3$

$\dfrac{9}{2}$

$9$

Conceptos:exponente factorización

Nivel de dificultad: 1210

Solución:

Como $\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k},$ la fracción es $\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}.$

Factorizando $9^{2005}$ en cada parte se obtiene $\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k},$ the fraction is $\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}.$

Factoring $9^{2005}$ from each part gives $\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Heather compara el precio de una computadora nueva en dos tiendas distintas. La tienda A ofrece un $15\%$ de descuento sobre el precio de lista seguido de un reembolso de $\$90,$ y la tienda B ofrece un $25\%$ de descuento sobre el mismo precio de lista sin reembolso. Heather ahorra $\$15$ al comprar la computadora en la tienda A en lugar de la tienda B. ¿Cuál es el precio de lista de la computadora, en dólares?

Heather compares the price of a new computer at two different stores. Store A offers $15\%$ off the sticker price followed by a $\$90$ rebate, and store B offers $25\%$ off the same sticker price with no rebate. Heather saves $\$15$ by buying the computer at store A instead of store B. What is the sticker price of the computer, in dollars?

$750$

$900$

$1000$

$1050$

$1500$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Sea $x$ el precio de lista. Heather paga $0.85x - 90$ en la tienda A y $0.75x$ en la tienda B.

Como la tienda A es $\$15$ más barata, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ lo que da $0.1x = 75,$ así que $x = 750.$

Así, la respuesta correcta es A.

Let $x$ be the sticker price. Heather pays $0.85x - 90$ at store A and $0.75x$ at store B.

Since store A is $\$15$ cheaper, $0.85x - 90 = 0.75x - 15,$ which gives $0.1x = 75,$ so $x = 750.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Supón que

$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$

es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera sobre $x$ ?

Suppose that

$\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6}$

is an integer. Which of the following statements must be true about $x?$

Es negativo.

It is negative.

Es par, pero no necesariamente múltiplo de $3.$

It is even, but not necessarily a multiple of $3.$

Es múltiplo de $3,$ pero no necesariamente par.

It is a multiple of $3,$ but not necessarily even.

Es múltiplo de $6,$ pero no necesariamente múltiplo de $12.$

It is a multiple of $6,$ but not necessarily a multiple of $12.$

Es múltiplo de $12.$

It is a multiple of $12.$

Conceptos:fracción paridad divisibilidad

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Combinando sobre un denominador común, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

Para que $\dfrac{x}{2}$ sea entero, $x$ debe ser par.

El ejemplo $x = 4$ muestra que $x$ no tiene por qué ser múltiplo de $3$ y descarta las demás afirmaciones.

Así, la respuesta correcta es B.

Combining over a common denominator, $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{4x - x}{6} = \dfrac{x}{2}.$

For $\dfrac{x}{2}$ to be an integer, $x$ must be even.

The example $x = 4$ shows that $x$ need not be a multiple of $3$ and rules out the other statements.

Thus, the correct answer is B.

10.

Cada uno de los lados de un cuadrado $S_1$ con área $16$ se biseca, y se construye un cuadrado menor $S_2$ usando los puntos de bisección como vértices. El mismo proceso se realiza sobre $S_2$ para construir un cuadrado aún menor $S_3.$ ¿Cuál es el área de $S_3$ ?

Each of the sides of a square $S_1$ with area $16$ is bisected, and a smaller square $S_2$ is constructed using the bisection points as vertices. The same process is carried out on $S_2$ to construct an even smaller square $S_3.$ What is the area of $S_3?$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras razón de áreas

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

El lado de $S_1$ es $4.$ Por el teorema de Pitágoras, el lado de $S_2$ es $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},$ así que su área es $8.$

Por el mismo razonamiento, $S_3$ tiene la mitad del área de $S_2,$ es decir $4.$

Así, la respuesta correcta es E.

The side of $S_1$ is $4.$ By the Pythagorean theorem, the side of $S_2$ is $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},$ so its area is $8.$

By the same reasoning, $S_3$ has half the area of $S_2,$ namely $4.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Mientras Steve y LeRoy pescan a $1$ milla de la orilla, su bote sufre una fuga, y el agua entra a un ritmo constante de $10$ galones por minuto. El bote se hundirá si entra más de $30$ galones de agua. Steve empieza a remar hacia la orilla a un ritmo constante de $4$ millas por hora mientras LeRoy achica agua del bote. ¿Cuál es el ritmo más lento, en galones por minuto, al que LeRoy puede achicar si quieren llegar a la orilla sin hundirse?

While Steve and LeRoy are fishing $1$ mile from shore, their boat springs a leak, and water comes in at a constant rate of $10$ gallons per minute. The boat will sink if it takes in more than $30$ gallons of water. Steve starts rowing toward the shore at a constant rate of $4$ miles per hour while LeRoy bails water out of the boat. What is the slowest rate, in gallons per minute, at which LeRoy can bail if they are to reach the shore without sinking?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

A $4$ millas por hora, Steve rema $1$ milla en $15$ minutos. Durante ese tiempo entran $15 \cdot 10 = 150$ galones.

Para mantenerse por debajo de $30$ galones, LeRoy debe achicar $150 - 30 = 120$ galones en $15$ minutos, o sea $\dfrac{120}{15} = 8$ galones por minuto.

Así, la respuesta correcta es D.

At $4$ miles per hour, Steve rows $1$ mile in $15$ minutes. During that time $15 \cdot 10 = 150$ gallons enter.

To stay under $30$ gallons, LeRoy must bail $150 - 30 = 120$ gallons in $15$ minutes, or $\dfrac{120}{15} = 8$ gallons per minute.

Thus, the correct answer is D.

12.

En una colección de canicas rojas, azules y verdes, hay un $25\%$ más de canicas rojas que azules, y hay un $60\%$ más de canicas verdes que rojas. Supón que hay $r$ canicas rojas. ¿Cuál es el número total de canicas en la colección?

In a collection of red, blue, and green marbles, there are $25\%$ more red marbles than blue marbles, and there are $60\%$ more green marbles than red marbles. Suppose that there are $r$ red marbles. What is the total number of marbles in the collection?

$2.85r$

$3r$

$3.4r$

$3.85r$

$4.25r$

Conceptos:porcentaje manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1260

Solución:

Como $r = 1.25b,$ el número de canicas azules es $b = \dfrac{r}{1.25} = 0.8r.$

El número de canicas verdes es $g = 1.6r.$

El total es $r + 0.8r + 1.6r = 3.4r.$

Así, la respuesta correcta es C.

Since $r = 1.25b,$ the number of blue marbles is $b = \dfrac{r}{1.25} = 0.8r.$

The number of green marbles is $g = 1.6r.$

The total is $r + 0.8r + 1.6r = 3.4r.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Doug puede pintar una habitación en $5$ horas. Dave puede pintar la misma habitación en $7$ horas. Doug y Dave pintan la habitación juntos y hacen una pausa de una hora para almorzar. Sea $t$ el tiempo total, en horas, que necesitan para completar el trabajo trabajando juntos, incluyendo el almuerzo. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones satisface $t$ ?

Doug can paint a room in $5$ hours. Dave can paint the same room in $7$ hours. Doug and Dave paint the room together and take a one-hour break for lunch. Let $t$ be the total time, in hours, required for them to complete the job working together, including lunch. Which of the following equations is satisfied by $t?$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t + 1) = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t + 1 = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)t = 1$

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1$

$(5 + 7)t = 1$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Trabajando juntos, Doug y Dave pintan $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ de la habitación por hora.

Como hacen una pausa de una hora, solo trabajan $t - 1$ horas, y esto debe completar toda la habitación:

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Así, la respuesta correcta es D.

Working together, Doug and Dave paint $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}$ of the room per hour.

Because they break for one hour, they work for only $t - 1$ hours, and this must complete the whole room:

$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7}\right)(t - 1) = 1.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Las pantallas de televisión más antiguas tienen una relación de aspecto de $4:3.$ Es decir, la razón entre el ancho y el alto es $4:3.$ La relación de aspecto de muchas películas no es $4:3,$ por lo que a veces se muestran en una pantalla de televisión mediante el "letterboxing", oscureciendo franjas de igual altura en la parte superior e inferior de la pantalla, como se muestra. Supón que una película tiene una relación de aspecto de $2:1$ y se muestra en una pantalla de televisión antigua con una diagonal de $27$ pulgadas. ¿Cuál es la altura, en pulgadas, de cada franja oscurecida?

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by "letterboxing" — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

Conceptos:razón y proporción Teorema de Pitágoras rectángulo

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Como la pantalla es $4:3$ con una diagonal de $27$ pulgadas, $h : w : 27 = 3 : 4 : 5,$ lo que da altura $h = \dfrac{3}{5}\cdot 27 = 16.2$ y ancho $w = \dfrac{4}{5}\cdot 27 = 21.6.$

La región iluminada $2:1$ tiene el ancho completo $21.6$ y altura $\dfrac{21.6}{2} = 10.8.$

Las dos franjas comparten la altura restante, así que cada una tiene altura $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since the screen is $4:3$ with a $27$ -inch diagonal, $h : w : 27 = 3 : 4 : 5,$ giving height $h = \dfrac{3}{5}\cdot 27 = 16.2$ and width $w = \dfrac{4}{5}\cdot 27 = 21.6.$

The lit $2:1$ region has the full width $21.6$ and height $\dfrac{21.6}{2} = 10.8.$

The two strips share the remaining height, so each has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Ayer Han condujo $1$ hora más que Ian a una velocidad media $5$ millas por hora mayor que la de Ian. Jan condujo $2$ horas más que Ian a una velocidad media $10$ millas por hora mayor que la de Ian. Han condujo $70$ millas más que Ian. ¿Cuántas millas más que Ian condujo Jan?

Yesterday Han drove $1$ hour longer than Ian at an average speed $5$ miles per hour faster than Ian. Jan drove $2$ hours longer than Ian at an average speed $10$ miles per hour faster than Ian. Han drove $70$ miles more than Ian. How many more miles did Jan drive than Ian?

$120$

$130$

$140$

$150$

$160$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Supón que Ian conduce $t$ horas a velocidad $r,$ recorriendo $rt$ millas.

Han condujo $(r + 5)(t + 1) - rt$ $= 5t + r + 5 = 70,$ así que $5t + r = 65.$

Jan condujo $(r + 10)(t + 2) - rt$ $= 10t + 2r + 20$ $= 2(5t + r) + 20$ $= 2 \cdot 65 + 20$ $= 150$ millas más que Ian.

Así, la respuesta correcta es D.

Let Ian drive $t$ hours at rate $r,$ covering $rt$ miles.

Han drove $(r + 5)(t + 1) - rt$ $= 5t + r + 5 = 70,$ so $5t + r = 65.$

Jan drove $(r + 10)(t + 2) - rt$ $= 10t + 2r + 20$ $= 2(5t + r) + 20$ $= 2 \cdot 65 + 20$ $= 150$ miles more than Ian.

Thus, the correct answer is D.

16.

Los puntos $A$ y $B$ están sobre una circunferencia centrada en $O,$ y $\angle AOB = 60^\circ.$ Una segunda circunferencia es internamente tangente a la primera y tangente tanto a $OA$ como a $OB.$ ¿Cuál es la razón entre el área de la circunferencia menor y la de la circunferencia mayor?

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo especial razón de áreas

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Sean $r$ y $R$ los radios. El centro $E$ de la circunferencia pequeña está sobre la bisectriz de $\angle AOB,$ por lo que el ángulo hacia una recta tangente es $30^\circ.$

La perpendicular desde $E$ hasta $OA$ tiene longitud $r,$ y en el triángulo $30$ - $60$ - $90$ resultante $OE = 2r.$

Como $OE = R - r,$ obtenemos $2r = R - r,$ así que $R = 3r$ y la razón de áreas es $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the radii be $r$ and $R.$ The small circle's center $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so the angle to a tangent line is $30^\circ.$

The perpendicular from $E$ to $OA$ has length $r,$ and in the resulting $30$ - $60$ - $90$ triangle $OE = 2r.$

Since $OE = R - r,$ we get $2r = R - r,$ so $R = 3r$ and the area ratio is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Un triángulo equilátero tiene lado $6.$ ¿Cuál es el área de la región que contiene todos los puntos que están fuera del triángulo y a no más de $3$ unidades de algún punto del triángulo?

An equilateral triangle has side length $6.$ What is the area of the region containing all points that are outside the triangle and not more than $3$ units from a point of the triangle?

$36 + 24\sqrt{3}$

$54 + 9\pi$

$54 + 18\sqrt{3} + 6\pi$

$\left(2\sqrt{3} + 3\right)^2 \pi$

$9\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 \pi$

Conceptos:descomposición de áreas sector circular triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

A lo largo de cada uno de los tres lados hay un rectángulo de $6 \times 3,$ que aporta $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.$

En cada vértice hay un sector de $120^\circ$ de radio $3;$ los tres juntos forman una circunferencia completa de área $\pi \cdot 3^2 = 9\pi.$

El área total es $54 + 9\pi.$

Así, la respuesta correcta es B.

Along each of the three sides is a $6 \times 3$ rectangle, contributing $3 \cdot 6 \cdot 3 = 54.$

At each vertex is a $120^\circ$ sector of radius $3;$ the three together form a full circle of area $\pi \cdot 3^2 = 9\pi.$

The total area is $54 + 9\pi.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Un triángulo rectángulo tiene perímetro $32$ y área $20.$ ¿Cuál es la longitud de su hipotenusa?

A right triangle has perimeter $32$ and area $20.$ What is the length of its hypotenuse?

$\dfrac{57}{4}$

$\dfrac{59}{4}$

$\dfrac{61}{4}$

$\dfrac{63}{4}$

$\dfrac{65}{4}$

Conceptos:Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Sean $y, z$ los catetos y $x$ la hipotenusa. Entonces $y^2 + z^2 = x^2,$ $y + z = 32 - x,$ y $yz = 40.$

Elevando al cuadrado la segunda ecuación, $\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80. \end{aligned}$

Esto da $1024 - 64x = 80,$ así que $x = \dfrac{59}{4}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the legs be $y, z$ and the hypotenuse $x.$ Then $y^2 + z^2 = x^2,$ $y + z = 32 - x,$ and $yz = 40.$

Squaring the second equation, $\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80. \end{aligned}$

This gives $1024 - 64x = 80,$ so $x = \dfrac{59}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

19.

El rectángulo $PQRS$ está en un plano con $PQ = RS = 2$ y $QR = SP = 6.$ El rectángulo se rota $90^\circ$ en sentido horario alrededor de $R,$ y luego se rota $90^\circ$ en sentido horario alrededor del punto al que se movió $S$ tras la primera rotación. ¿Cuál es la longitud del camino recorrido por el punto $P$ ?

Rectangle $PQRS$ lies in a plane with $PQ = RS = 2$ and $QR = SP = 6.$ The rectangle is rotated $90^\circ$ clockwise about $R,$ then rotated $90^\circ$ clockwise about the point that $S$ moved to after the first rotation. What is the length of the path traveled by point $P?$

$\left(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)\pi$

$6\pi$

$\left(3 + \sqrt{10}\right)\pi$

$\left(\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\right)\pi$

$2\sqrt{10}\pi$

Conceptos:transformación arco Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

En la primera rotación, $P$ se mueve sobre un cuarto de circunferencia alrededor de $R$ con radio $PR = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}.$ La longitud del arco es $\dfrac{1}{4}\left(2\pi \cdot 2\sqrt{10}\right) = \sqrt{10}\,\pi.$

En la segunda rotación, $P$ se mueve sobre un cuarto de circunferencia alrededor de la nueva posición de $S$ con radio $6.$ La longitud del arco es $\dfrac{1}{4}(2\pi \cdot 6) = 3\pi.$

La longitud total del camino es $\left(3 + \sqrt{10}\right)\pi.$

Así, la respuesta correcta es C.

In the first rotation, $P$ moves on a quarter circle about $R$ with radius $PR = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}.$ The arc length is $\dfrac{1}{4}\left(2\pi \cdot 2\sqrt{10}\right) = \sqrt{10}\,\pi.$

In the second rotation, $P$ moves on a quarter circle about the new position of $S$ with radius $6.$ The arc length is $\dfrac{1}{4}(2\pi \cdot 6) = 3\pi.$

The total path length is $\left(3 + \sqrt{10}\right)\pi.$

Thus, the correct answer is C.

20.

El trapecio $ABCD$ tiene bases $AB$ y $CD$ y diagonales que se cortan en $K.$ Supón que $AB = 9,$ $DC = 12,$ y el área de $\triangle AKD$ es $24.$ ¿Cuál es el área del trapecio $ABCD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has bases $AB$ and $CD$ and diagonals intersecting at $K.$ Suppose that $AB = 9,$ $DC = 12,$ and the area of $\triangle AKD$ is $24.$ What is the area of trapezoid $ABCD?$

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Conceptos:trapecio semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Los triángulos $AKB$ y $CKD$ son semejantes con razón $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.$

Como $\triangle AKD$ y $\triangle KCD$ comparten la base y tienen vértices colineales, $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},$ así que $[KCD] = 32.$ De forma análoga $[AKB] = 18.$

Además $[BKC] = [AKD] = 24.$ El total es $24 + 32 + 18 + 24 = 98.$

Así, la respuesta correcta es D.

Triangles $AKB$ and $CKD$ are similar with ratio $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.$

Since $\triangle AKD$ and $\triangle KCD$ share the base and have collinear vertices, $\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},$ so $[KCD] = 32.$ Similarly $[AKB] = 18.$

Also $[BKC] = [AKD] = 24.$ The total is $24 + 32 + 18 + 24 = 98.$

Thus, the correct answer is D.

21.

Un cubo con lado $1$ es cortado por un plano que pasa por dos vértices diagonalmente opuestos $A$ y $C$ y por los puntos medios $B$ y $D$ de dos aristas opuestas que no contienen a $A$ ni a $C,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

A cube with side length $1$ is sliced by a plane that passes through two diagonally opposite vertices $A$ and $C$ and the midpoints $B$ and $D$ of two opposite edges not containing $A$ or $C,$ as shown. What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\dfrac{5}{4}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

Conceptos:geometría del cubo rombo diagonal

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

Cada lado de $ABCD$ une un vértice del cubo con el punto medio de una arista, así que los cuatro lados son iguales y $ABCD$ es un rombo.

Sus diagonales son la diagonal espacial $AC = \sqrt{3}$ y la diagonal de cara $BD = \sqrt{2}.$

El área de un rombo es la mitad del producto de sus diagonales: $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Así, la respuesta correcta es A.

Each side of $ABCD$ joins a vertex of the cube to the midpoint of an edge, so all four sides are equal and $ABCD$ is a rhombus.

Its diagonals are the space diagonal $AC = \sqrt{3}$ and the face diagonal $BD = \sqrt{2}.$

The area of a rhombus is half the product of its diagonals: $\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Jacob usa el siguiente procedimiento para escribir una sucesión de números. Primero elige que el primer término sea $6.$ Para generar cada término sucesivo, lanza una moneda justa. Si sale cara, duplica el término anterior y le resta $1.$ Si sale cruz, toma la mitad del término anterior y le resta $1.$ ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto término de la sucesión de Jacob sea un entero?

Jacob uses the following procedure to write down a sequence of numbers. First he chooses the first term to be $6.$ To generate each succeeding term, he flips a fair coin. If it comes up heads, he doubles the previous term and subtracts $1.$ If it comes up tails, he takes half of the previous term and subtracts $1.$ What is the probability that the fourth term in Jacob's sequence is an integer?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:probabilidad básica diagrama de árbol paridad

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Partiendo de $6,$ los segundos términos son $11$ (cara) y $2$ (cruz).

Continuando el árbol, los ocho cuartos términos igualmente probables son $41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1.$

De estos, $41, 8, 5, -1, -1$ son enteros, así que la probabilidad es $\dfrac{5}{8}.$

Así, la respuesta correcta es D.

Starting from $6,$ the second terms are $11$ (heads) and $2$ (tails).

Continuing the tree, the eight equally likely fourth terms are $41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1.$

Of these, $41, 8, 5, -1, -1$ are integers, so the probability is $\dfrac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Se deben elegir dos subconjuntos del conjunto $S = \{a, b, c, d, e\}$ de modo que su unión sea $S$ y su intersección contenga exactamente dos elementos. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto, suponiendo que el orden en que se eligen los subconjuntos no importa?

Two subsets of the set $S = \{a, b, c, d, e\}$ are to be chosen so that their union is $S$ and their intersection contains exactly two elements. In how many ways can this be done, assuming that the order in which the subsets are chosen does not matter?

$20$

$40$

$60$

$160$

$320$

Conceptos:subconjuntos combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

Elige los dos elementos comunes de $\binom{5}{2} = 10$ maneras.

Cada uno de los $3$ elementos restantes debe estar en exactamente un subconjunto, lo que da $2^3 = 8$ asignaciones, para $80$ pares ordenados.

Como el orden de los dos subconjuntos no importa, divide entre $2$ para obtener $\dfrac{80}{2} = 40.$

Así, la respuesta correcta es B.

Choose the two common elements in $\binom{5}{2} = 10$ ways.

Each of the remaining $3$ elements must lie in exactly one subset, giving $2^3 = 8$ assignments, for $80$ ordered pairs.

Since the order of the two subsets does not matter, divide by $2$ to get $\dfrac{80}{2} = 40.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Sea $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ ?

Let $k = 2008^2 + 2^{2008}.$ What is the units digit of $k^2 + 2^k?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

El dígito de las unidades de $2^n$ cicla $2, 4, 8, 6,$ así que $2^{2008}$ termina en $6.$ Además $2008^2$ termina en $4.$

Por lo tanto $k$ termina en $0,$ así que $k^2$ termina en $0.$

Tanto $2008^2$ como $2^{2008}$ son múltiplos de $4,$ así que $k \equiv 0 \pmod 4,$ lo que hace que $2^k$ termine en $6.$

El dígito de las unidades de $k^2 + 2^k$ es $0 + 6 = 6.$

Así, la respuesta correcta es D.

The units digit of $2^n$ cycles $2, 4, 8, 6,$ so $2^{2008}$ ends in $6.$ Also $2008^2$ ends in $4.$

Thus $k$ ends in $0,$ so $k^2$ ends in $0.$

Both $2008^2$ and $2^{2008}$ are multiples of $4,$ so $k \equiv 0 \pmod 4,$ which makes $2^k$ end in $6.$

The units digit of $k^2 + 2^k$ is $0 + 6 = 6.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Una mesa redonda tiene radio $4.$ Sobre la mesa se colocan seis manteles individuales rectangulares. Cada mantel tiene ancho $1$ y largo $x$ como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de longitud $x.$ Además, los manteles se colocan de modo que cada esquina interior toque una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale $x$ ?

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being end points of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:círculo ángulo inscrito Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Toma un mantel con esquinas exteriores $P$ y $Q,$ y sea $R$ el punto de la circunferencia diametralmente opuesto a $P.$ Entonces $\triangle PQR$ es rectángulo en $Q$ con hipotenusa $PR = 8.$

Las esquinas interiores de manteles adyacentes se encuentran en triángulos isósceles con ángulo en el vértice de $120^\circ$ y lados $x,$ cuya base es $\sqrt{3}\,x.$ Junto con los dos anchos de mantel, $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

Por el teorema de Pitágoras, $\left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 + x^2 = 64,$ que se simplifica a $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Tomando la raíz positiva, $x = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Así, la respuesta correcta es C.

Pick a mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point on the circle diametrically opposite $P.$ Then $\triangle PQR$ is right-angled at $Q$ with hypotenuse $PR = 8.$

The inner corners of adjacent mats meet in isosceles triangles with vertex angle $120^\circ$ and sides $x,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Together with the two mat widths, $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

By the Pythagorean theorem, $\left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 + x^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, the correct answer is C.